可持久化树套树 (细节) 笔记

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• 一些约定
• 正片
• 例题： bzoj3489

假设已经会了树套树和可持久化权值线段树 （主席树）

昨天晚上在机房里面写，发现我有一些细节问题不是很懂，并且对这个玩意理解的也不太行

一些约定

有一个树套树，内外都是权值线段树。

对于一个外层树上的点 $u$，称左右儿子为 $ls(u),rs(u)$，并且套着一个内层树 $T(u)$，$T(u)$ 的根是 $rt'(u)$。

对于一个内层树上的点 $u$，称左右儿子为 $ls'(u),rs'(u)$，并且维护了一些信息。

对于一个线段树，设位置 $x$ 的影响路径为，从根一路找，找到单点 $x$，经过的路径（包括根 $[1,n]$ 和 $[x,x]$）

例如 $n=5$ 时，$x=2$ 的影响路径为 $[1,5],[1,3],[1,2],[2,2]$ 对应的点。

正片

有这样一个二维数点问题：加入一个点，询问矩形里点的信息（个数/和/max）。很明显可以树套树做。

这样的问题，如果要支持历史版本的询问，如何做？

即，我们要询问：如果只插入了前 $i$ 个点，矩形信息。

考虑可持久化。相当于每个版本都有一个树套树。那首先我们肯定要把外层可持久化。

设 $rt(i)$ 表示第 $i$ 个版本的外层树的根。考虑 $i-1$ 版本到 $i$ 版本的变化，很明显是多了一个点 $(x,y)$。

根据树套树，我们需要在外层的树上找到 $x$ 位置的影响路径。对于影响路径上的所有点，它们套的内层树 $T$ 都要在 $y$ 位置做插入。

现在我们要可持久化这个过程。类似主席树，用 path copy 的思想：在外层树上把 $x$ 的影响路径给copy一份。对于路径上的每个点，要修改的那个儿子就递归做，不要修改的那个儿子直接继承原树。

考虑复制的时候怎么快速维护。设它影响路径上有个点 $u$，我们把它复制到 $u'$。那么 $T(u')$ 就是 $T(u)$ 加上一个 $y$ 位置的插入。

只有这个内层树操作是不好做的，剩下的操作都比较simple。考虑一下，我们相当于要支持：

• 有若干颗树
• 每次给 $i,j,x$，令 $j$ 这颗树为 $i$ 这颗树插入一个 $x$ 位置
• 要求维护每棵树的信息

注意到这玩意也可以用可持久化做，把 $i,j$ 看成版本就行了。

那我们内层也要维护一个可持久化树，来支持这个操作。

例题： bzoj3489

转换一下问题，设 $pre,suf$ 表示前一个/后一个和当前相同的位置。问题变为：

有若干点 $(i,pre_i,suf_i)$，每次给 $l,r$，求满足：$i\in[l,r],pre_i<l,suf_i>r$ 的点中，最大的 $a_i$。

注意到 $pre$ 这一维是一个 $<$，把它看成是版本，维护一个可持久化树套树。树套树里面维护 $(i,suf_i)$ 两维

然后就搞一个可持久化的树套树求矩形max就行了。

时空复杂度均为 $O(n\log^2 n)$。

代码