可持久化树套树 (细节) 笔记
假设已经会了树套树和可持久化权值线段树 （主席树）
昨天晚上在机房里面写，发现我有一些细节问题不是很懂，并且对这个玩意理解的也不太行
一些约定
有一个树套树，内外都是权值线段树。
对于一个外层树上的点 \(u\)，称左右儿子为 \(ls(u),rs(u)\)，并且套着一个内层树 \(T(u)\)，\(T(u)\) 的根是 \(rt'(u)\)。
对于一个内层树上的点 \(u\)，称左右儿子为 \(ls'(u),rs'(u)\)，并且维护了一些信息。
对于一个线段树，设位置 \(x\) 的影响路径为，从根一路找，找到单点 \(x\)，经过的路径（包括根 \([1,n]\) 和 \([x,x]\)）
例如 \(n=5\) 时，\(x=2\) 的影响路径为 \([1,5],[1,3],[1,2],[2,2]\) 对应的点。
正片
有这样一个二维数点问题：加入一个点，询问矩形里点的信息（个数/和/max）。很明显可以树套树做。
这样的问题，如果要支持历史版本的询问，如何做？
即，我们要询问：如果只插入了前 \(i\) 个点，矩形信息。
考虑可持久化。相当于每个版本都有一个树套树。那首先我们肯定要把外层可持久化。
设 \(rt(i)\) 表示第 \(i\) 个版本的外层树的根。考虑 \(i-1\) 版本到 \(i\) 版本的变化，很明显是多了一个点 \((x,y)\)。
根据树套树，我们需要在外层的树上找到 \(x\) 位置的影响路径。对于影响路径上的所有点，它们套的内层树 \(T\) 都要在 \(y\) 位置做插入。
现在我们要可持久化这个过程。类似主席树，用 path copy 的思想：在外层树上把 \(x\) 的影响路径给copy一份。对于路径上的每个点，要修改的那个儿子就递归做，不要修改的那个儿子直接继承原树。
考虑复制的时候怎么快速维护。设它影响路径上有个点 \(u\)，我们把它复制到 \(u'\)。那么 \(T(u')\) 就是 \(T(u)\) 加上一个 \(y\) 位置的插入。
只有这个内层树操作是不好做的，剩下的操作都比较simple。考虑一下，我们相当于要支持：
- 有若干颗树
- 每次给 \(i,j,x\)，令 \(j\) 这颗树为 \(i\) 这颗树插入一个 \(x\) 位置
- 要求维护每棵树的信息
注意到这玩意也可以用可持久化做，把 \(i,j\) 看成版本就行了。
那我们内层也要维护一个可持久化树，来支持这个操作。
例题： bzoj3489
转换一下问题，设 \(pre,suf\) 表示前一个/后一个和当前相同的位置。问题变为：
有若干点 \((i,pre_i,suf_i)\)，每次给 \(l,r\)，求满足：\(i\in[l,r],pre_i<l,suf_i>r\) 的点中，最大的 \(a_i\)。
注意到 \(pre\) 这一维是一个 \(<\)，把它看成是版本，维护一个可持久化树套树。树套树里面维护 \((i,suf_i)\) 两维
然后就搞一个可持久化的树套树求矩形max就行了。
时空复杂度均为 \(O(n\log^2 n)\)。
