串串题-各种算法的应用
如题，这篇主要讲字符串题，偏应用，与思维方式
原本是对着NOI大纲上字符串那一栏做的，并自己把SAM和SA强行加进来了，因为我觉得它们也应该在字符串这一栏讲。
这一部分基础知识大多比较简单，很多人都会，所以我们来讨论如何灵活的运用它们。
哈希
这个应该人均会
哈希+思维: NOI2016优秀的拆分
设 \(f(i),g(i)\) 表示 \(i\) 位置向前/向后形如 \(AA\) 的串的数量。那么答案为 \(\sum f(i)\times g(i+1)\)
\(f,g\) 没有本质区别。考虑求 \(f\)，\(g\) 反过来做一遍就行。
我们枚举 \(A\) 的长度为 \(i\)，然后考虑每隔 \(i\) 个位置就打一个标记。
然后观察性质发现，任意选一段 \(AA\) 串，一定会经过恰好两个标记。两标记以前的位置，是一段LCS；两标记以后的位置，是一段LCP。
那我们就枚举相邻两个标记，看 LCP+LCS 是否比 \(i\) 大就行了。
哈希一波，或者SA一波，就能 \(O(\log n)/O(1)\) 的算 LCP 和 LCS，然后算标记的复杂度是调和级数，就能通过本题。
KMP
KMP，简单吧，超级简单，不用讲了
有时，越是以为简单的东西，越不简单。尤其是一个算法，如果和思维结合起来，就会变的他妈都不认识
KMP+思维: Fibonacci words
我一开始想了好久，想了各种神秘字符串结构，都⑧行
一看题解，竟然只需要KMP
首先对于两个串 \(A,B\)，在里面匹配 \(T\)，我们可以在 \(A,B\) 中分别匹配，然后处理一下跨区间的匹配。设 \(f_n\)
表示 \(T\) 在串 \(F_n\) 中的匹配。
那么 \(f_n=f_{n-1}+f_{n-2}+I(F_{n-1},F_{n-2})\), \(I(A,B)\) 表示 \(T\) 跨越 \(A,B\) 的匹配。
对于这个递推式，前两项我们可以直接加，关键在于后面的那个 \(I\)。注意到，当 \(F_n\) 开始比 \(T\) 长的时候，它中间的很长一段咱都不要了，只保留 长度为 \(T\) 的前后缀就行。每次匹配就暴力跑个 KMP，反正咱已经把串长降下来了。这样复杂度就是 \(O(nT)\) 的了。
利用fail: CF432D
这是一个经典套路：把KMP的fail数组建成树，称 “失配树”，或者fail树
我们注意到，ACAM，PAM，SAM里面都有fail树的说法。所以这个KMP其实也是个自动机，可以认为是这样：
对于我们的模式串 \(T\)，
- 点 \(x\) 表示，当前串能匹配到 \(T[:x]\)
- 节点之间有着一些边：\(x\xrightarrow[]{T_{x+1}} x+1\)
- 有一种fail边，当字符边不匹配的时候，就走fail边，再看能不能匹配
那这么说把fail树建出来有什么用呢？
有着以下几个性质：（暂时只有一个，等待补充）
- \(i\) 节点的子树size，就是前缀 \(i\) 在串中出现的次数
然后就可以解决掉CF432D这个题了
Trie 字典树
trie本身很sb，相信大家都会
利用trie结构解决字典序的限制: USACO2012 First!
先建好fail树，考虑每个串。
如果它要成为最小的那个串，我们就需要手动调整字母表的顺序。
在trie树上看，假设在某一层，当前串的对应位上，字符是 \(c\)，那这个 \(c\) 就要比当前节点所有兄弟节点对应的那个字符 \(c'\) 要 “小”。（带引号的“小”表示，在我们自定义的顺序中的小于）
形式化的说，我们枚举一个串 \(s\)，然后在trie上走，上一步走到 \(u\)，当前字符是 \(c\)，\(u\) 走 \(c\) 边走到 \(v\)，就是当前位置。
那 \(\forall c'\neq c\)， \(u\) 存在 \(c'\) 转移，转移到 \(v'\)，\(c\) 要“小于” \(c'\)。
这很显然，对于这些 \(v'\) 对应的串，设为 \(s'\) ，和 \(s\) 的 LCP 显然就是 \(u\) 对应的那些串，而它俩第一个不同的字符就是 \(c\) 和 \(c'\)。我们要让 \(s\) “小于” \(s'\)，那么 \(c\) 就要 “小于” \(c'\)。
我们这样跑下来，会建立最多 \(\binom{26}{2}\) 个关系。跑一遍拓扑排序，只要不存在环，就是合法的。
复杂度 \(O(\sum S\times A^2)\)，\(A\) 为字符集大小 ，\(A=26\)。
Suffix Array(SA) 后缀数组
不会的看 这里
注意，SA的复杂度和字符集大小并没有很大关系，就算是一个整数序列也可以跑SA。
SA+并查集: poj1743
SA有一个很常见的trick，就是用并查集把height>=k的位置并起来考虑。
那怎么解决这个题呢？
我们转化一下“相似”这个条件，注意到两个序列如果可以通过整体加某个数得到，那么它俩差分除了第一个位置都相同。
那我们相当于在差分序列上求最长的两个子串，使得它俩相同，并且不相交。
倒着枚举长度 \(k\)。每次把height=k的两个位置并起来，那每次就相当于height>=k的位置并在一块。
height>=k，就说明有一个长度为 \(k\) 的子串，在这些位置 全部 都出现过。
然后我们维护一下每一块里的最小、最大位置，看看它俩的差是不是 \(>k\) 就行了。
其实这个合并的过程，如果一次合并多个叉，就相当于是建后缀树的过程
SA+思维: CF319D
我们可以这样考虑：枚举长度 \(i:1...n\)，把长度 \(=i\) 且相邻连续出现两次的串 一块 删掉，复杂度是多少？
看起来好像是 \(O(n)\) 的。但是，有效删除（删除至少一个位置的操作）次数，其实是 \(O(\sqrt{n})\) 的
注意到 1+2+3... 这个东西是平方级别增长的，要超过 \(n\) 也只需要 \(O(\sqrt{n})\) 的级别。
那我们怎么算相邻连续出现两次的串呢？
往上翻到NOI2016优秀的拆分，打标记就行。
注意精细实现：只有每次 有效删除 之后重构SA，其它时候就打标记看看有没有解。
复杂度是 \(O(n\sqrt{n}+n\log n)=O(n\sqrt{n})\)
树上SA: gym 102511G
我们把串反过来之后，发现，“加前面”变成“加后面”，然后就可以建出一颗trie树来，尽管我们不能直接存下每个串。
然后，“问前缀”也就变成了“问后缀”
那这个咋做呢？
我们发现，还是“问前缀”好做。于是我们考虑，在trie树上，从下到上 还原这些串，并搞出一个结构，支持前缀的查询。
很明显我们不能把每个串都搞出来，也不太方便建一个trie出来。那么什么结构可以支持前缀的查询呢？
SAM！ —— 很明显建不出来
SA！—— 建不出来，吗？
普通的SA是在序列上倍增，我们考虑 在树上倍增，建SA
很好搞，就记一个倍增跳祖先的数组 \(jump(u,i)\)，表示 \(u\) 的 \(2^i\) 级祖先。然后把 \((rank(u),rank(jump(u,i)))\) 这个 pair 搞一个基数排序就行了。时间复杂度是 \(O(n\log n)\)，\(n\) 为 trie 上的节点数。
本题的关键在于想出 “树上倍增建SA” 这个事情，想到了之后就迎刃而解了。
Suffix Automaton (SAM) 后缀自动机
不会的看 这里
SAM维护子串的匹配: USACO2010 Threatening Letter
SAM是一个可以接受所有子串的自动机。
那它就可以像KMP一样，维护一个 子串的匹配
如这个题，有一个明显的贪心策略：
设打印好的信件那个串是 \(S\)，FJ要发的内容是 \(T\)
每次在 \(T\) 找到最长的一个前缀使得它是 \(S\) 的子串，然后划一段，就行了
为啥？很明显，如果我们能划一个串，就能划它任意的子串，因为子串的子串还是子串。那我们让剩下的尽可能少，就是最优的。
把 \(S\) 建一个 SAM，用 SAM 维护这个匹配就行：每次在自动机上走不动了，就划一段，并回到初始节点
