插头dp 笔记
插头dp 笔记
限于我的水平，我们暂时只讨论“简单路径问题”，并且例题不多
基础知识
这个东西的全称是 “基于连通性的状态压缩dp”。cdq有一篇论文讲这个，是2008年的论文。
顾名思义，它干的事情其实是，把“连通性”这个东西给压缩起来了，并用这个压缩方式，做一个dp。
插头是啥
我们想要解决选路径的问题。考虑现在有一个图，现在加进来一个点，这个新点和原来的点有一些边。
那选择的路径会发生怎么样的变化呢？对于原来的点，如果它已经有 \(2\) 的度数，那它就已经在路径上，不能接更多的点了。而那些度数为 \(1\) 的点，就可以在边上接一个点，这就是一个 “插头”
怎么压缩连通性
对于一般图，显然，我们可以给一个连通块标一个号。但是标号的方法有很多，我们需要找一种可以唯一确定，并且高效的记状态的方法。
这很好搞，我们for一遍当前的点，碰到一个没标号的，就 ++tot。容易发现这样标的方法显然唯一，并且 tot 恰好等于连通块数。标号完之后哈希一波就行了。复杂度是 O(划分数)。如果要求准确，使用map的话，可能要多个log。
有一类特殊问题：要求在网格图上搞一条路径，穿过整个网格。比如说，一条哈密顿路。
这个问题有着一个特殊性，就是我们只需要记一条轮廓线的 \(m+1\) 个插头，就可以转移。如下图，每次我们讨论一下这条轮廓线“折角”的那个位置的两个头怎么变化就行了。
考虑这条轮廓线上的插头的连通性，发现它一定是两两配对，并且不相交的，像括号匹配一样。
为什么？考虑一条穿过整个网格的路径，它肯定会跨过轮廓线，偶数次。一头进，一头出，那么这两个点的连通性就是匹配的。
不相交这个性质，想象一下就知道了，因为相交就会有度数 \(>2\) 的点。
我们可以把它的状态压缩成：\(0/1/2\)。对于那些配对的点，我们令左边那个是 \(1\)，右边那个是 \(2\)，就像括号匹配一样。对于没有插头的那些位置，我们给他一个 \(0\)。
比如上面那个图，假设内部的连接情况如黄线所示，我们就给它一个 \(1,0,0,2,1,0,0,2\) 的状态。
这可以用三进制存，状态数的数量是 \(O(3^{m+1})\)。
来个例题
1 Ural 1519 Formula 1 / HNOI2004邮递员
哈密顿回路计数。\(n,m\le 12\)。有障碍。（HNOI那个题没有，不影响本质）
考虑每个格子，四个方向的连接情况，相当于在下面的 \(6\) 个东西里面选一个
相当于在 \(4\) 个方向里选两个，\({4\choose 2}=6\)。
状态的表示已经整好了，考虑如何转移。
影响转移的只有“折角”的那两个格子。讨论它们插头有无的情况。
设这两个格子的状态是 \(p,q\)，\(p\) 在左，\(q\) 在右。
1. 都没有，p=q=0
那往左，往上的插头都不行，就只能有一种情况，就是往右、下的插头。
然后我们需要把这两个位置的状态从原来的 \(p=0,q=0\) 变成 \(p=1,q=2\) ，因为这两个插头正好匹配
2. 其中一个有， pq=0, p+q>0
此时 \(p+q\) 为 \(p,q\) 中非 \(0\) 的那个
那我们的其中一根插头，肯定在左、上里面选，并且得选有插头的那一个。另一根插头，在右、下里面选。
转移到的状态肯定其中一个是 \(0\)，另一个是 \(p+q\)。
有两种，变成 \(0,p+q\) 和 \(p+q,0\)
3. 俩都有
最复杂的情况，此时我们还需要讨论
3.1 两个左/右括号，p=q=1/2
首先是 \(p,q\) 这两个位置被合并，都变成 \(0\)
其实是，原来和 \(p,q\) 匹配的那两个位置，现在也匹配上了，我们依次给它 \(1,2\)
3.2 右+左，p=2，q=1
原来 \(p,q\) 匹配的两个位置，现在匹配上了，\(p,q\) 变成 \(0\)。
从 \(1,2,1,2\) 变成 \(1,0,0,2\)。我们发现，只需要改 \(p,q\) 俩位置，原来那些就自动匹配上了，根据括号序列的性质。
3.3 左+右，p=1，q=2
此时连接上 \(p,q\)，就会有一个环出来。
而我们哈密顿路要求只有一个环，那一定是做到了最后一个格子，并且除了 \(p,q\) 位置都是 \(0\)。那此时会连出来恰好一个环。
这个情况直接转移给答案就行了。
完毕。
此时把代码写出来，发现就按这个讨论的思路把代码实现了就行。（为啥有这么毒瘤的讨论，因为它本来就有这么毒瘤的讨论）
不是我对着代码在瞎讲，是这代码就得对着讨论写
注意到两个细节：
- 换行，此时必须行末没有插头才行。然后我们可以把这个空插头，移到最前面，以方便下一行的转移
- 障碍，这要求折角的两个位置 \(p,q\) 都是 \(0\)，并转移到 \(0,0\) 的状态
并小心另一个细节：当上面的两个细节 同时出现 的时候。
（我就因为这个WA了好久）
（这是ural那个题的代码，HNOI那个题的代码要小小的写个高精）
怎么只有一个题啊
会整的会整的，会有更多的qaq
