dp优化瞎吹

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• dp优化瞎吹
  • 前言
  • 数据结构优化
  • 决策单调性
  • 斜率优化
  • 四边形不等式

 

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dp优化瞎吹

众所周知，我们在dp的转移过程中，可以用一些方法，优化它的转移复杂度。

由于我这边的资料不多，并且例题要么很简单，要么很难，所以我学的脑子有点乱，东西也乱，抱歉啊

前言

对于dp的优化，我个人有些浅显的理解，不知恰当不恰当

我感觉它大概就是，我先写一个dp，再想办法把它变得更快。

怎样更快呢？我可以优化状态数，也可以优化转移。

对于状态数的优化，在dp基础那一篇里有些许提到。而这里主要是针对转移的优化。

转移可以怎么优化呢？我可以 打表 观察转移点的规律，减少转移数；也可以用数据结构，直球的加速转移。

数据结构优化

最直白的一种。这种直接对着转移做就行了。

如果转移是一段 前缀/后缀的和/min/max/积/啥别的, 我们可以使用前缀和优化。这种非常傻逼，例题略。

如果转移是一段区间的min/max/啥别的，还要带修改，那估计得上线段树优化。当然，有一种特殊的：我们的区间长成一段滑动窗口，并且求min/max，我们可以使用单调队列优化，少一个log

然后就是，对于 $f_i+...\rightarrow f_{i+1}$​ 这样的转移，发现它是一个区间平移操作，可以利用平衡树的插入操作支持，因为插入相当于自带一个“让位置”。

以下是例题。

线段树优化：CF833B

很容易写出暴力dp：$f(k,i)$ 表示分了 $k$ 段，选到 $i$ 位置，最大的价值和。

那么 $f(k,i)=\max\ f(k-1,j)+w(j+1,i)$，$w(l,r)$ 表示 $[l,r]$ 里面不同种类数。

然后我们发现这个东西可以用pre数组贡献出来：对于 $[j+1,i]$ 中的位置，如果它 $pre\le j$ ，那就贡献 $1$。

枚举 $k$​ ，然后枚举 $i$​。线段树维护：对于每个 $j$​，当前取 $j$​​ 位置转移，权值 $f(k-1,j)+w(j+1,i)$​ 能取到多少。首先用 $f(k-1,*)$ 作为权值建一颗数，对于每个新来的 $i$，对于 $(pre_i,i]$ 区间内的 $j$，可以多一个贡献出来，给它权值 $+1$​ 就行。我们发现它很明显可以线段树维护：区间+1，区间求max。

然后就搞一遍，复杂度 $O(nk\log n)$

平衡树优化：CF809D

就拿LIS的那个dp做，发现是一个区间平移的形式，啪的一下打完平衡树，很快啊，哎，就A掉了

另见：这里，这边主要讲的是做dp的思维方法，更加详细一些

决策单调性

对于 $f_i$，我们要选一个 $j<i$，使得 $g(j)+w(j,i)$ 最优化（可能是min/max）。

设 $p_i$ 表示 $i$​​ 这个位置的最优决策点。如果这个 $p$​ 是递增的，这个就叫 决策单调性

如果有这个性质，咋搞呢？我们可以分治，设 calc(l,r,L,R) 表示，要求区间 $[l,r]$ 的dp值，当前的转移位置区间确定在 $[L,R]$ 中。设 $mid$ 为 $l,r$ 中点，暴力找到它的最优位置 $p$，然后由决策单调性递归确定左右两边的转移位置，递归调用 calc(l,mid-1,L,p),calc(mid+1,r,p,R) 即可。复杂度一个 $\log$。

除此之外，有些决策单调性的题目也可以在单调栈上二分。不过复杂度一样，并且适用的范围完全被包含了，所以我没有去学，也不太会。

那如何发现这个性质呢？如果足够聪明，你可以脑子里想到几个东西，然后推一推，很快就可以推出来这个性质。如果你不够聪明，像我一样，就可以使用打表，发现这个 $p$​ 好像增。多造点数据，assert一波，发现确实没问题，诶↑，单调性来了。

我们也可以取观摩一下 FlashHu的博客，然后根据函数的交点数/导数等性质，判断它是否满足决策单调性。

以下是例题。

POI2011

LightningUZ Conductor （幻视）

首先转换为 $p\ge a_j-a_i+\sqrt{|i-j|}$。那就变成对于每个 $i$，求 $j$ 使得后面那一坨最大。把 $j<i$ 和 $j>i$ 分开做，最后合并一下即可。现考虑 $j<i$

可以用一个dp，$f(i)=\max\left(a_j+\sqrt{|i-j|}\right)-a_i$

我们可以用数学方法推式子来证明它的决策单调性，也可以观察打表，发现它的决策单调性。

然后就随便做一波就行了。

CF868F

首先，我们使用理性证明 打表，百度，谷歌 等方法发现了决策单调性。证明详见上面FlashHu的博客。

然后用分治算就行了。

过程中，我们发现，我们需要一个够快的方法来支持区间权值的询问。可以考虑像莫队一样增/减一个位置来移动区间。我们又发现，同一层里面，区间 $l,r$ 都是递增的，所以区间移动 不会增加 分治决策单调性的复杂度

斜率优化

见 这里

四边形不等式

对于一个区间dp，枚举一个中间断点转移的那种，我们可以观察它的最优转移点取在哪。然后有的时候，我们就会发现一个和决策单调性有点类似的性质。设 $p(l,r)$ 表示 $l,r$ 的转移点，那么： $p(l,r-1)\le p(l,r)\le p(l+1,r)$​。此时我们可以用一个和决策单调性类似的继承转移位置的策略，我们不从 $l$ 开始，而是直接从以前确定好的 $p$​ 开始，看哪个点最优。容易证明这个复杂度是均摊 $O(n^2)$ 的。

经典例题如石子合并，可以做到 $O(n^2)$。

如果用另一种算法结合平衡树，可以做到 $O(n\log n)$​，我不说是哪个

那么四边形不等式是什么呢？

定义：若二元函数 $f(x,y)$ 对于 $l\le l'\le r'\le r$，有：$f(l,r)+f(l',r')\ge f(l,l')+f(r,r')$，则称 $f$ 满足 四边形不等式

若有一个dp，形如：$f(l,r)=w(l,r)+\max\{(l,k)+f(k+1,r)\}$，则以下三个命题等价：

• $f$ 满足四边形不等式
• $w$ 满足四边形不等式
• $f$ 的最优转移位置 $p$，满足 $p(l,r-1)\le p(l,r)\le p(l+1,r)$

证明：我不会，可以感性理解，领悟它的正确性（

更多例题：我不清楚