NOI挑战赛#2 (vp) 记录

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NOI挑战赛#2 (vp) 记录

赛场：69+0+10

赛后：69+0+100

题解

T3

题意：给定 $S,C$ ，求有多少个 $s\in[1,S],c\in[1,C]$ ，使得：存在若干个整数边长的矩形，它们周长的和为 $c$ ，面积的和为 $s$ 。

$S,C\le 10^6$ 。几档小部分分是100，2000，6000，30000，100000，400000。

（只会这一个题）

对于一个 $(c,s)$ 如果它满足条件，给 $c$ 加上 $2$ ，给 $s$ 加上 $1$ ，同样满足

（即，加上一个 $1\times 1$ 的矩阵）

因此，对于 $(c_0+2k,s_0+k)$ 这样的，如果 $(c_0,s_0)$ 满足，就全都满足了

注意到所有这样的点构成一条直线，直线的本质区别在于截距 $2s-c$

那我们枚举这个截距 $i$ ，找到最小的 $s_0$ 使得 $(2s_0-i,s_0)$ 可行，那对于 $s>s_0,c=2s-i$ ， $(c,s)$ 一定也是可以的

设 $f(i)$ 表示最小的 $s_0$ 使得 $(2s_0-i,s_0)$ 行，那问题就是求 $f(i)$

暴力的枚举一对 $(c,s)$ 是 $O(n\log n)$ 的。再去枚举 $i$ 更新 $f$ ，就是 $O(n^2\log n)$

设 $g(i)$ 表示最小的 $s_0$ 使得 $(2s_0-i,s_0)$ 可以由一个矩形搞出来。先预处理出 $g$ ，再用 $g$ 更新 $f$

更新 $g$ ： $s\xrightarrow[cmin]{} g(2s-c)$ ，这个 $O(n\log n)$

更新 $f$ ： $g(i-j)+f(j)\xrightarrow[cmin] f(i)$ ，这个 $O(n^2)$

注意到我们去掉了一个 $\log$ ，相当于是预处理掉了。这样据说就能拿不少分了，实现的好甚至可以拿到80多

那怎么拿100呢？观察第二个转移，暴力输出每个最优的 $j$ ，发现它都在200以内， $O(200n)$ 直接水过

小技巧：对于一个限制不多，输入很少，题面很短（讲人话：比较数学）的题目，如果用（复杂度不对的）dp做，通常转移会比较有规律，可以打表观察

赛场记录

我他妈人傻了啊我艹，这啥题啊

泡一杯咖啡，稍微迟了点，8:15开的场，定时闹钟5h

看第一题 -> 有了思路（去上了个撤硕）->发现思路假了

~~撤硕是一个充满魔法的地方，我每次去撤硕里都思维特别活跃，发现做法假了或者想出新做法~~

继续想，⑧会，看T2

看完T2，我脑子一转，这咋做啊，完全没有头绪（题解也完全没懂）

准备打一个 $O(2^n)$ 的暴力， $n\le 15$ 。然后仔细一看发现这个数量其实是 $2n$ ，所以复杂度会到 $2^{30}$ ，然后就傻了

去看了T3，仔细一想发现不会正解，退而求其次次次次次次，发现我只会 $n^5$ ，而最小的 $n$ 有 100 那么大

此时时间过去了2h，我却已经获得了0分的高分。

但是我的低配大脑长期这样运转，不太能吃的消。再加上今早起的早，没睡够，就睡着了

睡了5min多，脑子里想起来我还在比赛，啪的一下就起来了，跟他妈诈尸一样

我的T2基本上就放弃了（事实证明这个决策是对的），我去主攻T1T3

我发现我的T1问题在于只比较一个串，如果同时比较一堆串接起来其实就对了。然后我就暴力的实现了这个比较。期望得分18。由于数据比较水，最终我的暴力比较跑的飞快（因为我有很多break，且串的LCP非常短），只有最后一个subtaskT掉了，喜提69的高分

我还去想了T3，把那个 $O(n^5)$ 的超高速dp，优化到了 $O(n^4)$

然后我又想，对于一个面积，周长的方案数是面积的因数个数，因数个数加起来，其实是个调和

然后这个dp就优化到了 $O(n^3\log n)$ ，终于有分了，获得了10分的超高分！！！

后来，比赛还有30min结束的时候，我注意到，对于一个 $s$ ，满足条件的 $c$ 大致在一个区间里，而只有小部分空缺

我就打表，存每个 $s$ 的 $l,r$ ，还有空缺。理论需要跑5~6min，实际跑了20min，因为跑第一遍RE了，我改了几下，再调了一会，重新跑的

事实证明这个空缺是真的少，存储空缺的表用了35K，但是存l,r的表用了他妈48K，而noi.ac这个垃圾网站只允许交50KB的代码（NOI赛场是100KB），我只好压缩一下这个表，就在打好的表上做修改，取个差分，二进制+char的压缩，等等。但是压缩那个表的程序由于太长了，本地渣机编译失败了，时间也不太够了，一阵手忙脚乱还是没搞出来，痛失10分！！！（表打出来就有20了）太可惜了！！！

至此，比赛结束。我打了 18+0+10=28分，获得了69+0+10=79分，挂了-51分。