神秘数据结构：笛卡尔树

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  • • 笛卡尔树是啥
    • 咋建
      • 法1
      • 法2
    • 性质 / 事实
    • 来点题！
      • 经典题：柱状图最大子矩阵
      • TJOI2011 树的序
      • SPOJ PERIODNI
      • agc028B Removing Blocks
      • 笛卡尔树上启发式合并/分裂
      • 动态维护笛卡尔树: ZJOI2012 小蓝的好友

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神秘数据结构：笛卡尔树

这是一种大家都听过名字但都没做过多少例题的奇怪数据结构。

但是今天研究一下NOI大纲，它好像要靠，算了，整吧

和其它维护信息的数据结构不太相同的是，它更多的是去支持数数，或者是决策，之类的。

笛卡尔树是啥

这是一种数据结构，可以把一堆形如 $(x_i,y_i)$ 的点对放到二叉树上，使得：

• 只看 $x$，树的中序遍历有序，即满足二叉搜索树（Binary Search Tree, BST）性质（左小右大）
• 只看 $y$，这是一个二叉堆，大根/小根

它的性质非常优秀，可以支持一些跟最大值有关的问题，或者是插入删除之类的问题（记录插入删除时间）

咋建

以小根为例，大根就反一下。

我们先把 $x$ 排一下序。

法1

考虑树的根。由堆的性质，这是原序列的最小值。由BST性质，我们可以递归解决两边。

然后就每次把最小值提起来变成根，左右分别处理接在下面就行了。这样就是 $O(n^2)$ 的，用线段树优化一下能做到 $O(n\log n)$

尽管这个方法没有下一个方法快，但它能帮助我们理解笛卡尔树的性质。

法2

线性！（如果保证 $x$ 有序）

考虑增量法，每次枚举一个 $i$ 看看怎么把它加进来

为了满足BST性质，我们的第一反应是不断的走右儿子（即，右链），然后把它接在这条链底部的右儿子。

实际上我们再想一下，我们其实可以在右链上找一个地方把它“插入”进来，同样满足BST性质。如下图：

即，对于原树右链上 $u$ 到 $v$ 的一条边，令 $u$ 的右儿子为 $i$，然后 $i$ 的左儿子再接到 $v$，这样就实现了把 $i$ “插入” 到右链。

由于（小根）堆性质，任意一条向下的链都是递增的。我们要把当前的点 $i$ 插入进来，就要找一个 “中间位置”，即，$u$ 到 $v$ 的边，满足：$a_u<a_i$ 而 $a_i<a_v$。此时用上述的 “插入” 方法把 $i$ 插进来，容易发现，即满足了BST性质，又满足了BST性质。

照理来说找这个位置应该用二分法，然而，我们可以用一个单调栈来暴力维护，由于每个数只会进出一次，所以总复杂度是线性的。

还有一个细节注意，就是 $i$ 一来直接变成当前最小值，反 客 为 主，此时不但要清掉链，还要把根设置成 $i$。

代码（洛谷板子）

性质 / 事实

（以小根为例）

1. 以 $u$ 为根的子树是一段连续的区间 （由BST性质），且 $u$ 是这段区间的最小值，且不能再向两端延伸使得最小值不变（即，这一段区间是极长的）

2. 在 $u$ 左右子树里任选两个点，两点间的区间最小值必定是 $y_u$

   注：两个点都可以取 $u$ 本身，此时的区间最小值仍是 $y_u$

3. $a,b$ 间的区间最小值为：$y_{LCA(a,b)}$

4. 若 $y$ 是个随机排列，$x$ 是 $1,2,3...n$，则树高期望为 $\log$，具体多少后面说

5. Treap是一颗笛卡尔树，它依靠性质4确保复杂度

   ——因此我们可以动态维护笛卡尔树！

来点题！

上面提到，笛卡尔树可以有效的解决一些和最大/最小值有关的问题，或者是和插入删除有关的问题

经典题：柱状图最大子矩阵

直接形式化描述吧，给一个数组 $h$，求

$max\{min(h_{l...r})\times (r-l+1\},1\le l\le r\le n$

我们想到可以钦点最小值，然后看最小值等于它的最长区间。

区间限制在下标上，而最大值的限制在 $h$ 上。容易想到，下标第一维，$h$ 值第二维，来一颗笛卡尔树。

由性质1，我们可以枚举笛卡尔树上的节点，然后最长区间就是子树大小，更新一下最大值即可。

复杂度：$O(n)$

当然，这题也可以直接单调栈做，本质是差不多的

TJOI2011 树的序

首先有一个明显的贪心：我们先把BST搞出来，然后在BST上贪心跑：先走小儿子，后走大儿子。很显然这样的贪心是对的，因为先走大儿子，在这一位上就输了，肯定不优。

问题在于如何建BST。更明确的说，$a_i$ 的 BST。

那我们建出来的树肯定对于 $a$ 满足 BST 性质了。然后再想到，我们每次插一个新数，都会插在下面。所以这颗树上，下面编号大于上面。

所以对于编号来说，这颗树满足堆性质。

好，一个BST性质，一个堆性质，笛卡尔树，没了。即，以 $(a_i,i)$ 建一颗笛卡尔树，就是 $a_i$ 的 BST 了。

由于 $a$ 无序，需要先把它排一下序，复杂度就是 $\log$ 了。

当然，这个 $\log$ 的常数小的可以，因为 std::sort 非常快！

总结：若发现了一个BST性质，一个堆性质，啪的一下想到笛卡尔树

SPOJ PERIODNI

bzoj2616

我们注意到，对于一段棋盘，真正有限制条件的只有下面那一段。对于上面，因为没法跨过来，所以可以随便放，无影响。

我们的问题又和最小值有关了，所以考虑笛卡尔树，小根的。

建出来树之后直接在树上考虑问题。设当前点是 $u$。对于它左右两颗子树对应区间里的棋盘，我们划分成两块：最小值上面的那一块，称作 $A$；大家共有的最小值那一块，称作 $B$。如下图，绿色线上面就是 $A$，下面就是 $B$。

对于 $B$，问题相当于我们要选若干个位置，使得行列均不同。用组合数选出行与列都是啥，再配对，就行了。

而对于 $A$，问题就麻烦在如何把下面这一块去掉。经过一番思考，得到一个神秘方法：直接记 $f(u,x)$ 表示，$u$ 子树里，把 $u$ 父亲的那一段长度切掉，然后放 $x$ 个车车的方案数。

那对于当前的 $u$，我们直接把左右儿子的 $f$ 做一个卷积（这里可以暴力卷，因为瓶颈不在这），就可以得到在 $A$ 部分里选若干个的方案数了。

对于 $B$，我们需要选若干个行，列出来。假设当前有 $H$ 行，$W$ 列供选择。容易发现，$H=a_u-a_{fa}$，$W=size(u)$，即子树大小。

假设我们要求 $f(u,i)$，即一共选 $i$ 个；在 $B$ 部分选择 $j$ 个。此时 $A$ 部分选择 $i-j$ 个，尽管不占据 $B$ 部分的行，但占据掉了列。于是 $B$ 部分的方案数为：

$$\binom{H}{j}\binom{W-(i-j)}{j}\times j!$$

其中 $j!$ 是选出来的行与列配对的方案数。

然后我们再把 $A,B$ 部分的方案数卷起来，就可以得到 $f(u,0...k)$ 了。

代码

agc028B Removing Blocks

首先我们可以把它看成是，均匀随机一个删除顺序，求代价的期望，乘一个 $n!$

我们发现，每次删一个位置，然后两边分开搞，和笛卡尔树建树过程非常的类似。把每个点的删除时间搞出来，删一个点就提它做根，然后左右两边接过来，我们发现，它是一个笛卡尔树。其中，下标满足BST性质，删除时间满足小根堆性质。

一个位置的贡献就是它在笛卡尔树上的点深度 （即，到根路径上多少个点）。我们相当于求它的期望深度，乘以它的权值，加起来，就是代价的期望（由期望线性性）

现在问题变成如何求随机排列构成笛卡尔树的期望深度。

$E(dep_i)=\sum\limits_{j} P(j\in anc(i))$，$anc(u)$ 表示 $u$ 的祖先。

问题又变成，$j$ 是 $i$ 祖先的概率。不妨令 $j<i$，$j>i$ 同理。

想象一下笛卡尔树的结构，如果 $j$ 要是 $i$ 的祖先，那 $[j,i]$ 这一段里面，$j$ 得是最小值——要不然切在中间就把 $i,j$ 分在两颗子树里了。

现在问题又变成，随机一个排列，区间 $[l,r]$ 中 $l$ 位置是最小值的概率。

首先我们先选 $r-l+1$ 个位置放在区间里，然后令 $n-(r-l+1)$ 个位置随便排， $l$ 位置放最小值，$(r-l+1)-1$ 个位置再随便排，最后除以 $n!$ 就行了。推一波式子发现一堆东西都抵消了，最后概率为 $\dfrac{1}{r-l+1}$。应该有其它妙妙理解，但是我只会瞎几把推。

$j>i$ 同理。最后搞出来我们发现这是一个调和级数求和。设调和级数 $H(n)=\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i}$

$E(dep_i)=H(i)+H(n-i+1)-1$

然后再按上述做一波就好了。

同时，由于 $H(n)$ 和 $\log n$ 是同阶的，我们也证明了随机排列的笛卡尔树的深度，期望是 $\log$ 的。

代码

笛卡尔树上启发式合并/分裂

启发式合并大家熟悉，启发式分裂的意思就是，我枚举一个点 $u$，算跨过 $u$ 的情况，然后两边分别处理。对于计算跨过 $u$ 的情况，我看左右哪个子树小，我就按这个子树作为枚举的标准，另一颗子树里块速的做。和启发式合并类似，它的复杂度也是多一个 $\log$。

例题：hdu6701，洛谷4755

都是启发式分裂，统计一下跨过中间的答案，两边递归做就行。

hdu那个比较傻逼，而洛谷的那个还需要小小的去一下重。

代码：

hdu题

咕咕题

动态维护笛卡尔树: ZJOI2012 小蓝的好友

说是动态的笛卡尔树，其实就他妈的是个treap

当然，treap就他妈的是个笛卡尔树，所以似乎怎么说都没问题

设资源点为“黑点”，其余为“白点”。那我们要数至少一个黑点的子矩阵数

注意到这个题的"至少一个"四个字，仿佛是把"容斥"二字写在了脸上，怎么想都得容斥，变成 “没有”

那现在的问题就是数白的

我们当然可以预处理，就是这个 $R,C$ 有点大，不太能忍一下

那还有啥好办法呢，注意到 $R,C,n$ 都挺小的，那要么枚举 $R,C$，要么枚举 $n$ 了

后者相当于要考虑加入一个黑的，会减少几个白的。但又要考虑到其它的黑色的影响，似乎还要来一个 $2^n$ 的容斥：算了吧

那考虑前者。一种常见的套路就是，我们枚举它的一条边界，算另外几条边界

这个套路在处理二维的最大子矩阵中也用到了，枚举一维，处理出“高度”，转化成上面说的柱状图最大子矩阵

形式化点说，枚举 $i$ 表示限制子矩阵的下边界是第 $i$ 行。同样考虑处理出“高度”，即，$h_i(j)$ 表示 $(i,j)$ 这个位置往上多少格才会碰到黑的。如果自己就是黑的，那么 $h_i(j)=0$。

考虑枚举子矩阵的左右边界 $l,r$。此时的方案数就取决于高度，而这个高度不能超过 $l,r$ 间每个位置的高度，于是只能是 $[1,min(h_i(l...r))]$ 之间的整数，方案数是 $min(h_i(l...r))$ 种

于是总方案数就是

$$\sum\limits_{1\le l\le r\le n} min(h_i(l...r))$$

和 $min$ 有关，一看就笛卡尔树。

建一个小根的笛卡尔树。根据上面的性质我们知道，枚举一个点 $u$，在 $u$ 的左子树中，选一个作为 $l$；在 $u$ 的右子树中，选一个作为 $r$，则 $l,r$ 区间最小值为 $h_i(u)$。同时，$l,r$ 都可以取 $u$ 本身。

所以把式子转化成：

$$\sum\limits_{u=1}^{C} h_i(u)\times (size(ls(u))+1)\times(size(rs(u))+1)$$

$ls,rs$ 分别表示左右子树，$size$ 表示子树大小，$+1$ 表示可以取 $u$ 本身。

那对于一行的答案，我们就可以 $O(C)$ 的算了。

那总不能每行暴力的建个笛卡尔树吧，又变成 $O(RC)$ 了，肯定不行。

考虑两行之间的树，变化其实很小。首先每个位置都 $+1$，然后是，这一行为黑的位置直接标 $0$

也就是说，我们需要资瓷：

• 整体 $+1$
• 单点修改
• 维护笛卡尔树

考虑如何维护笛卡尔树。我们要保持 BST 性质满足的情况下，调整堆性质。考虑到平衡树的旋转操作，可以保持 BST 性质不变。

于是我们用平衡树的旋转来调堆性质就行了。写出来一看，这好像就是个 treap。

那复杂度如何保证呢？注意到数据随机生成，就相当于 treap 里面的随机权值一样，能够保证期望复杂度是 $\log$ 的。

代码