sqrt数据结构 笔记

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sqrt数据结构 笔记

毒瘤ds

一些约定

有一个一直出现的叫法，叫 “cnt数组”，是我喜欢这样叫，也不知道对不对。它是维护值域的，$cnt(i)$ 表示有多少个值等于 $i$。

分块

啥是分块

观察这样一件事，我们现在要在序列上单点修改, 并维护区间和

如果我们直球的做，修改 $O(1)$, 而询问是 $O(n)$

如果我们直球的维护前缀和， 修改 $O(n)$，而询问是 $O(1)$

第一种方法我们相当于把每个数独立开来看，第二种方法我们相当于把所有数放在一块看（前缀和相当于干这个事情）。

有没有一种折中的方法，平衡两个复杂度？ 先不说线段树，树状数组

我们可以考虑设置一个阈值 $B$，每 $B$ 个看成是一 块。

对于一次区间上的操作，覆盖到的完整的一块，成为“完整块”；不完整的，称为”散块“。如下图，红色是完整块，而绿色是散块（摘自lxl的分块ppt）

完整块的总数才 $n/B$，其数量不会超过 $n/B$；而散块的数量也显然小于 $2B$。

如果我们取 $B=\sqrt{n}$，两块就平衡了，复杂度就都是 $O(\sqrt{n})$ 的。当然，有些题目的数据不同，可能需要自己调整 $B$ 的大小。

这样做的好处是，对于散块，我们可以一个一个搞，很方便处理；对于完整块，可以进行整体操作，也很方便，以此支持一些复杂的操作（很多操作甚至不能线段树，树套树，之类的）。

以上，便是对分块的一个初步认识

它有一些有意思的别名，后文中说 “sqrt technology”，或者是 “块速”，都是指这个

为啥要分块

众所周知，有线段树这样一种东西。

众所周知，有树套树这样一种东西。

但是它们能够解决的问题十分有限，并且空间较大（树套树/可持久化线段树）。如果区间的操作/询问并不能支持快速的区间合并（众数/数颜色），那就只能块速的做了。或者，如果能树套树但是出题人卡空间（如lxl），那也只能块速的做。

思想

其最主要的思想便是 平衡，设一个阈值，把两种复杂操作的复杂度平衡起来。

和中庸的思想类似

它其实也有分治的意思，把原问题分解成了一堆小问题。所以也可以认为分块是一种类似线段树的分治结构，如图（同样是lxlppt里的），是一颗只有三层的 $B$ 叉树。

经典题：区间最小众数

如题，每次给一个区间，求出现次数最多的数是哪个；如果有并列最多的，输出数值最小的那个

loj的6285，洛谷的5048，都差不多这个题意（洛谷那个要求输出次数）

按照上述分块的思想考虑，对于整块，我们可以直接预处理出这一块内部哪个最多

但是我们有一堆整块要合并，咋办呢？暴力合并的复杂度似乎不太对（因为要合并整个 cnt 数组）

小 技 巧：当发现一堆整块要合并而不好合并的时候，可以把它预处理出来，复杂度 $O(n\sqrt{n})$ 的

预处理一般就枚举块的区间 （有 $O(\sqrt{n}^2)=O(n)$ 个），然后可以递推什么的

那我们考虑预处理出来，$F(l,r)$ 表示第 $l$ 个块到第 $r$ 的块中出现最多的是哪个数，顺便再记一下出现多少次。

那查询的时候就把中间的整块，啪的一下做完了

那散块的答案咋更新呢？我们发现我们并不能很快的维护出整块里面的 cnt 数组。可以考虑这样：

假设当前最多 $C$ 次。对于左边的散块，看看它右边（算自己）能不能有 $C+1$ 个数，如果能有，就给 $C$ 增加 $1$。右边同理。

这个 “能不能有 $C+1$ 个数” 可以这么做，对于每种值，维护它出现的位置数组（开vector/用new动态申请），然后（以左边为例）看看它出现的下 $C$ 个位置是否还在 $r$ 之前即可。这样判断是 $O(1)$ 的，预处理也是 $O(n)$ 的，很快啊

记每个值的出现位置数组这个trick，在刘汝佳的蓝书中有提到，是一个很经典的trick，如果没见过没关系，见多了就知道了

那这样一来，总复杂度就是 $O(n\sqrt{n}+Q\sqrt{n})$ 了。

总结：

• 分块之后，只有 $O(\sqrt{n})$ 个块，因此我们可以对这些块做一些在线段树上不好做的操作，或者说是更加暴力的操作，从而更好的支持各种各样的功能

  比如说我们可以直接 $O(B^2)=O(n)$ 的记录块两两之间的信息

• 分块问题中，又要注意整块的处理，又要注意小散块的处理

• 当我们发现一个问题用线段树/树套树根本没法搞的时候，可以考虑sqrt tech

codechef FNCS

题目名称看成Chef and Cthulhu

我们发现这个题的修改十分阳间，询问十分阴间

此时可以利用分块中 平衡 的思想，去加快查询的速度

对于询问，我们直接在函数上分块。散块就暴力加一下，考虑能否块速的维护整块的和。

既然我们想块速维护，最直接的想法就是，记 $fs(i)$ 表示第 $i$ 块里函数值的和。

这里的fs并不是指flandre scarlet

考虑修改（看成是加操作）一个位置对一个块里的函数有多少贡献系数。这个可以直接预处理出来，对于一个块里面，我们用一些差分等区间加技巧，就可以求出 $a$ 序列中每个位置对这一块的影响系数。设 $co(i,p)$ 表示 $p$ 位置对第 $i$ 块的贡献，那我们单点修改 $p$ 增加 $x$ 的时候，枚举一个块 $i$，把 $x\times co(i,p)$ 加过去就行了。

现在还遗留下一个问题，对于散块，我们需要块速支持求区间和。事实证明树状数组的一个 $\log$ 已经过不去了。

然而我们前面已经带一个根号了，这会还用啥树状数组啊，用sqrt tech：对 $a$ 我们也分块，记一下块之间的前缀和，和每一块内部的前缀和，然后每次 $O(\sqrt{n})$ 的修改，以及——$O(1)$查询！

分析一波复杂度

对于加操作：首先是去分块维护 $a$ 的和，这部分是 $O(\sqrt{n})$ 的；然后是去贡献一整块的函数，也是 $O(\sqrt{n})$ 的

对于询问：整块是 $O(\sqrt{n})$ 的遍历求和，散块是 $O(\sqrt{n})\times O(1)$ 的求和，这里的 $O(1)$ 是上面的块速求和

综上，复杂度是 $O(m\sqrt{n})$ 的，一个 $\log$ 都不带。

树状数组：别骂了别骂了

总结：

• 尽管分块结构是带根号的，但是当询问与修改的规模不同，需要特别快的支持其中一个，而另一个则允许更慢的时候，分块还有着特殊的意义

• 当我们发现一个操作阴间而另一个操作阳间的时候，我们可以使用分块，平衡二者的复杂度

  如本题：我们把单点修改操作从直球的 $O(1)$ 变成了 $O(\sqrt{n})$ 的，而加快了区间求函数和的操作

树分块

首先分块的本质相当于是标记一些关键点，使得它们分布的比较匀称，点有 $n/S$ 个，间距都在 $S$ 以内，然后我们把点与点之间的间隔看成是“块”，然后再做散块和整块的处理。

这样，如果我们能在树上比较匀称的标关键点，那我们也可以实现树上的分块。对于一条路径，它肯定被一些关键点切开，然后和序列上一样，整块直接搞，散块暴力搞，就行了。

但是树上有两条路径，可能要考虑一些去重方面的问题，或者是更复杂的维护 —— 毕竟有四块散块。

我暂时只会这样一种分块方法：假设块大小是 $S$，然后去标记关键点。每次找一个最深的，没被标记的点，如果它上面 $S$ 个都没被标记，就标记它上面数 $S$ 条边（即 $S$ 级祖先）那个点。

这样一标记，显然点之间的间隔是 $O(S)$ 的；标记一个点至少会让 $S$ 个点再也无法标记，于是顶多有 $n/S$ 个点，满足条件。

对于洛谷的板子题，就在路径的块上，维护区间的bitset；对于散块，就暴力加入bitset；然后bitset的count就是答案了。

莫队

这个再经典不过了。它利用分块的结构，优化区间移动的步数到根号。

那随便来几个经典题讲一下吧

bzoj 3809

我们发现不仅要数颜色，颜色还带了一个区间限制。

那我们肯定想维护一个 cnt 数组的前缀和。但是我们在莫队的过程中要不断的资瓷单点加，一共有 $O(n\sqrt{n})$ 次加操作，而查询操作只有 $O(m)$ 次。

此时，结合上一个题的想法：我们分块！我们可以块速的支持单点加，$O(1)$；而查询就算变成 $O(\sqrt{n})$，总复杂度也是对的，是 $O(n\sqrt{n}+m\sqrt{n})$。

具体的讲就是，我们直接维护这个 $cnt$ 数组，并记一个数组 $col(i)$，表示 $cnt$ 数组的第 $i$ 块里，有多少个位置非 $0$。

注意一下，$cnt$ 和 $col$ 都是设在值域上的数组

对于修改，直接在 $cnt$ 数组上改，然后看看对 $col$ 数组有没有影响，显然 $O(1)$
对于查询，先把 $col$ 按整块加一下，然后散块暴力看看是否非 $0$，算一算，显然 $O(\sqrt{n})$

然后就是套一个莫队，就做完了。

这里算是一个 trick，在莫队的过程中，我们也可以用分块来平衡它询问和加一个数的复杂度

Ynoi 2017 由乃的玉米田

这题是典型的，莫队+bitset

一般维护数种类，或者数之间的关系，用bitset可能会很好做

莫队之后，动态维护区间的数组成的bitset

对于减的查询，就把bitset给左移一下和自己求个就行了。对于加的查询，需要维护一个反过来的bitset，然后再求交 （其实这算是一种另类的卷积）

对于乘查询是最sb不过的，枚举因数，$O(\sqrt{n})$

除的查询则是这个题的精髓：根号分治！

这也算是一种平衡复杂度的方法。设两个数的商被要求为 $d$，我们分类讨论

如果 $d$ 比较大，大于 $\sqrt{n}$，说明小的那个数范围不大，小于 $\sqrt{n}$，暴力枚举一下就行了

如果 $d$ 比较小，脑子一想，诶，不会做。

但是我们发现 $d$ 的范围小，其实我们可以先暴力枚举 $d$ ，然后 $O(n)$ 的扫一遍。对于当前扫到的 $a$，我们看一下上一个 $a\times d$ 和 $\dfrac{a}{d}$ （$a$ 为 $d$ 倍数）在哪，然后对于当前区间，看看它在不在左端点里面就行了。

至此，我们解决了四种询问。

总结：

• 莫队和bitset配合，能很好的解决区间的种类问题

  如果不强制在线，它是区间数颜色的一种好做法之一，虽然那个可以主席树

• 根号分类讨论可以做到平衡复杂度

[Ynoi2016] 掉进兔子洞

果然练sqrt-tech还是要找ynoi

我们发现这个东西，其实就是要减去三个多重集的交。具体的说，对于同一种数，假设分别出现了 $c_1,c_2,c_3$ 次，那它被删去的次数就是 $min(c_1,c_2,c_3)$

接下来问题便乘，要去三个多重集的交。

如果是三个集合的交那我们会做，三个bitset来&一下就行了

那如果是多重集，怎么做？

这里是一个神秘trick：min/max与交/并的转化

我们在证明min-max容斥的时候其实就用了这个转化，是一个很有用的转化，因为min/max的性质与交/并的性质其实是类似的

即，我们把一个数 $x$ 看成是集合 $1,2,3...x$，那 $min$ 就变成了集合的交，$max$ 就变成了集合的并

这题里相当于是求三个 $cnt$ 数组的 $min$，有很多位置；我们可以用计数排序里类似的思路，对 $cnt$ 数组求一个前缀和，然后分配一下空间

然后就对三块区间分别做一遍莫队，最后求一个&就行了

然后注意到本题卡空间，所以可以把询问一万个分一组来做，一共要做10次；就当每次是一个新问题就行了，然后每次记得清空一下。这样其实会变慢，但是空间少 $10$ 倍，是典型的时间换空间。

后记

感觉下午4,5点钟这个特别困的时候, 特别适合写blog, 毕竟打不动题

现在暂时还没学多少内容，只是简单的入门一下，东西少，抱歉qaq

其实我也是啥都干不动了，来写点blog总结一下，假装自己很努力

最后，

都2020年了，还有人考分块？