CT03 Contest#11 智商场 T2 unique

神秘构造体，没智商，真不会

题意

给一个 $n$，还有长度为 $n$ 的序列 $a_i,b_i$。要求构造一个 $n\times n$ 的矩阵，每个位置的数可以是 $[1,n^2]$ 中的任意整数，并满足，第 $i$ 行里面不同的种类数有 $a_i$ 个，第 $i$ 列里面不同的种类数有 $b_i$ 个。

$2\le a_i,b_i\le n\le 500$。

构造

构造的方法

首先在对角线上放一堆 $1$。

然后在对角线循环右移一格的位置，即 $(i,i\%n+1)$ 的位置，依次放上 $2,3...n+1$。这个东西也是每行、列恰好一个，设每行、列的这个数分别是 $p_i,q_i$

枚举位置 $(i,j)$ 。如果当前行、列都不行，放一个全新的颜色（从 $n+2$ 开始数）；如果行（hang）行（xing）列不行，那把 $p_i$ 放这；如果行不行，列行，放一个 $q_j$；如果俩都行了，放一个 $1$

咋想到

去问了出题人 zzq 大爷，他说他啪的一下就会了，也不太清楚咋想到，我只能自己想了

大概都能想到，先搞一个base，然后做点小修改 （修正主义）

我赛场上写了个爆搜打表，我注意到了 $a_i=b_i=2$ 的情况，黑白染色即可。于是开始想，能不能先黑白染色，再改改。

但是这样的坏处在于：杂七杂八的几把玩意太多了，刚开始还能满足，后来越来越不能适应 $a,b$ 的变化了

就好像某上个世纪解体的国家

对于构造题来说，我们一开始可以 放一些，不一定全放完，后面再调整

注意到 $a_i,b_i\ge 2$ 的条件。我们一开始可以让每行、每列都恰好有两种，然后再加东西

trick：对于方阵的构造，我们可以考虑主对角线放一条，然后右边再放一条；这样可以解决很多行、列上的限制

另一个例题：CF1436B

其实有一个方法是，我们爆搜出来 $n=3$ 的解，然后对着这些解，去思考是咋得到的，用手凑一凑；或者也可以直接凭脑子想。总之就是，我们发现我们需要做到下面几件事：

• 放一个“无用元”：我们已经搞定了 $a,b$，但是格子还没填满，需要一些无影响的东西来当垃圾
• 单加一行/一列：修改 $(i,j)$ 位置，会同时影响第 $i$ 行和第 $j$ 列，但是我们只要搞其中一条，因为另一条已经好了
• 同时加一行/一列：最sb的，直接放一个全新的颜色就行

“无用元”在一番思考过后，也很好搞：主对角线全放 $1$，然后接下来的所有位置放 $1$ 都不再会有影响了，此时它就成为了一个 “无用元”

接下来是对于单行/列的修改：如果不考虑那个无用元，其实我们可以在主对角线上放 $1,2,3...n$。这样，比如我们要修改 $(i,j)$ 位置，但只影响第 $i$ 行，那在这放一个 $j$ 就行了。第 $j$ 列本来就有一个 $j$，再放一个 $j$ 就不会影响了

那这两个东西都要用主对角线，咋办？其中一个东西让一让位置，整体循环+1，右移一格，就没事了。我们这里把后面那个东西挪了一下。同时，它的值也得平移一些：从 $1,2...n$ 变成 $2,3...n+1$，因为那个 $1$ 要去当 “无用元”

总结

1. $n\times n$ 方阵中的构造方法，见上面
2. 在方阵中考虑构造，尤其是行列间相互影响的，可以考虑如何单独影响其中一个