CT03 Contest#10 equation 大力打表+讨论
好久没做这么爽的打表题了！！
当然，这个讨论要人命。
代码：10KB讨论 + 3KB 表
注：附有打表代码
题意
求 \(a^d+b^d=c^e\) 的解数。\(c^e\le n\le 10^{18}\)，要求 \(e\ge 3,d\ge p\)。 \(p,n\) 给定。
做法
注：一个快一点的暴力
假设已知 \(c^e\)，可以枚举一个 \(a\)，并设一个 \(b\)，初始等于 \(\sqrt[d]{c^e}\)。随着 \(a\) 的增加，单调的减少这个 \(b\) 即可。这样复杂度是不带 \(\log\) 的。
以下说跑的暴力，以及打表程序，都是这个写法
考虑枚举 \(e\)。由于 \(e\ge 3\)，这个 \(c\) 就只有最多1e6种了。
再枚举 \(d\)。讨论：
若 d=1
答案是 \((c^e-1)/2\)，显然
若 d=2
用HAOI那个圆上的整点那个题的结论，分解质因数做，就行
先把1e6以内的数的最小质因子筛出来，然后每次分解就是 \(\log\) 的了。
若 d=3
如果 \(e=3\)，由费大，无解
如果 \(e=4\)，脑袋一想，好像解不多。搞一个打表程序一算，诶，只有 600 个解不到。打表！（打表程序注意常数优化，我的跑了5~10min左右）
如果 \(e=5\)，脑袋一想，好像解也不多（有了刚才的经验）。于是继续打表
如果 \(e=6\)，由费大，无解
其实如果 \(e\mod d=0\)，就一定无解，因为我们可以把 \(e\) 次方看成是先求 \(e/d\) 次方，再求 \(d\) 次方；这样两边都是 \(d\) 次方，就肯定无解
如果 \(e=7\)，继续打表，这个表小到可以直接用 or 语句来判。\(e=8\) 同理。
由上结论，\(e=9,12,15...\) 均无解。
如果 \(e=11,13,14,16\)，易发现，只有一个解。随便写几个if搞搞也行
对于更大的 \(e\)，跑暴力的复杂度就小的可怜了。\(O(1e18^{1/17})\le 11\)，再乘 \(1e6\) 也不是问题
注：其实也有点慢，所以后来我代码里增加了对 \(e=3\) 的特殊待遇，使得它后来跑的飞快
若 d=4
如果 \(e=3\) ，只有五个解，拿 or 语句判一下
如果 \(e=4,8.12...\)， 无解
如果 \(e=5\)，打表 —— 后来才发现这个表大小只有 \(21\)
如果 \(e=6\)，无解 （搜出来）
剩下暴力，复杂度：
毛估估，7e6左右。实际上常数更小。
其实我们可以得到一个比较general的式子，对于d,e，复杂度是
\(\dfrac{e}{d+e}\times n^\frac{d+e}{d\times e}\)
若 d=5
如果 \(e=3\)，同样打表
如果 \(e=4\)，搜一下发现无解
如果 \(e=5,10,15...\)，无解
如果 \(e=6\)，一看只有 \(3\) 个解，判一下即可
剩下暴力。
复杂度是 \(\dfrac{7}{12}\times n^{\frac{12}{35}}\)，更小
注意到这个东西随着 \(d\) 的增大是单减的
若 d=6
就像上面的一样，要打表就打表，复杂度够了就暴力，一直搞到8,9左右
...
若d>=10
直接暴力，飞快
注意点
打表程序：要用一下上面那个小trick
注意double的精度（如果用pow开根），或者手写二分开根
注意不要爆long long
（我是因为这两条，考场只有90）
考场调这种题，要冷静，合理分配时间
