CT03 Contest#10 equation 大力打表+讨论

目录

• 题意
• 做法
  • 若 d=1
  • 若 d=2
  • 若 d=3
  • 若 d=4
  • 若 d=5
  • 若 d=6
  • 若d>=10
• 注意点
• 实现
  • 打表
  • 主程序

好久没做这么爽的打表题了！！

当然，这个讨论要人命。

代码：10KB讨论 + 3KB 表

注：附有打表代码

题意

求 $a^d+b^d=c^e$ 的解数。$c^e\le n\le 10^{18}$，要求 $e\ge 3,d\ge p$。 $p,n$ 给定。

做法

注：一个快一点的暴力

假设已知 $c^e$，可以枚举一个 $a$，并设一个 $b$，初始等于 $\sqrt[d]{c^e}$。随着 $a$ 的增加，单调的减少这个 $b$ 即可。这样复杂度是不带 $\log$ 的。

以下说跑的暴力，以及打表程序，都是这个写法

考虑枚举 $e$。由于 $e\ge 3$，这个 $c$ 就只有最多1e6种了。

再枚举 $d$。讨论：

若 d=1

答案是 $(c^e-1)/2$，显然

若 d=2

用HAOI那个圆上的整点那个题的结论，分解质因数做，就行

先把1e6以内的数的最小质因子筛出来，然后每次分解就是 $\log$ 的了。

若 d=3

如果 $e=3$，由费大，无解

如果 $e=4$，脑袋一想，好像解不多。搞一个打表程序一算，诶，只有 600 个解不到。打表！（打表程序注意常数优化，我的跑了5~10min左右）

如果 $e=5$，脑袋一想，好像解也不多（有了刚才的经验）。于是继续打表

如果 $e=6$，由费大，无解

其实如果 $e\mod d=0$，就一定无解，因为我们可以把 $e$ 次方看成是先求 $e/d$ 次方，再求 $d$ 次方；这样两边都是 $d$ 次方，就肯定无解

如果 $e=7$，继续打表，这个表小到可以直接用 or 语句来判。$e=8$ 同理。

由上结论，$e=9,12,15...$ 均无解。

如果 $e=11,13,14,16$，易发现，只有一个解。随便写几个if搞搞也行

对于更大的 $e$，跑暴力的复杂度就小的可怜了。$O(1e18^{1/17})\le 11$，再乘 $1e6$ 也不是问题

注：其实也有点慢，所以后来我代码里增加了对 $e=3$ 的特殊待遇，使得它后来跑的飞快

若 d=4

如果 $e=3$ ，只有五个解，拿 or 语句判一下

如果 $e=4,8.12...$， 无解

如果 $e=5$，打表 —— 后来才发现这个表大小只有 $21$

如果 $e=6$，无解 （搜出来）

剩下暴力，复杂度：

$$\sum\limits_{i^4\le n} \sqrt[7]{i^4}\le \int_{1}^{\sqrt[4]{n}} i^{\frac{4}{7}}=\frac{7}{11}\sqrt[4]{n}^{\frac{11}{7}}=\frac{7}{11}n^{\frac{11}{28}}$$

毛估估，7e6左右。实际上常数更小。

其实我们可以得到一个比较general的式子，对于d,e，复杂度是

$\dfrac{e}{d+e}\times n^\frac{d+e}{d\times e}$

若 d=5

如果 $e=3$，同样打表

如果 $e=4$，搜一下发现无解

如果 $e=5,10,15...$，无解

如果 $e=6$，一看只有 $3$ 个解，判一下即可

剩下暴力。

复杂度是 $\dfrac{7}{12}\times n^{\frac{12}{35}}$，更小

注意到这个东西随着 $d$ 的增大是单减的

若 d=6

就像上面的一样，要打表就打表，复杂度够了就暴力，一直搞到8,9左右

...

若d>=10

直接暴力，飞快

注意点

打表程序：要用一下上面那个小trick

注意double的精度（如果用pow开根），或者手写二分开根

注意不要爆long long

（我是因为这两条，考场只有90）

考场调这种题，要冷静，合理分配时间

实现

打表

co↑co↓

主程序

co↑co↓