2021CT03 Contest#9 降智场

目录

• A. Graph
  • 题意
  • 做法
• B. sequence
  • 题意
  • 做法
• C. walk
  • 题意
  • 做法
• 总结
• 后记：T2的神秘 $O(n^2)$ 做法

A. Graph

题意

对一个任意图，做到下面两件事情之一：

• 3-染色。 即，给每个点一个1~3的颜色，使得相邻的点颜色不同
• 删掉一个奇环，使得图仍然连通

图的点，边数 $n,m\le 3e5$

做法

先搞一个DFS树来。按照如下规则：

一边DFS一边给点黑白染色。第一个点染白色，然后交替。

对于白点，就直接跑正常的DFS；对于黑点，我们预先把它没遍历过的邻居全部加入到生成树中（标一下vis），然后再DFS

把这些树边删掉，看看有没有奇环。这要是有，就直接把这个奇环删掉，那肯定连通。

否则，非树边不构成奇环。

此时，由于我们特殊的DFS规则，黑点与黑点之间没有非树边。那么非树边只有黑-白，白-白。

黑-白的非树边显然不用管（已经不同了），只需要考虑白-白。

非树边不构成奇环，说明构成二分图。那我们对白色点再跑一遍01染色，是“1”的那些点我们把它变成 “灰色”。

然后白-白的非树边也解决掉，此时的每条边两边的颜色都不同了，而且仅用了三种颜色。

代码

B. sequence

题意

长度为 $n$ 的序列，每个位置的颜色在 $[1,m]$ 中均匀独立随机。求最长的一段同色段，长度，的期望。

$n\le 3e6,m\le 1e8$，膜大质数。

做法

（来自机房大佬的做法）

机房大佬：雅礼扛把子 zxyhymzg！

期望 $E(len)$ -> $\sum P(len\ge x)$ -> $\sum 1-P(len\le x)$ 。考虑计算这个

然后咱们控制每一段都不超过 $x$。考虑 $f(i)$ 表示前 $i$ 个，每一段同色长都不超过 $x$ 的方案数。

脑子想一想，得到递推：

$$f(i)=\sum\limits_{j=i-x}^{i-1} f(j)\times (m-1)$$

枚举上一段的结尾 $j$，从 $j+1$ 到 $i$ 都染一个色；不能和上一段相同，所以乘 $m-1$

设 $f(0)=1$。最后的答案要乘一个 $\dfrac{m}{m-1}$，因为第一段我们其实有 $m$ 种，但是这样递推会被认为是 $m-1$ 种。

然后我们注意到这个转移有一个区间求和，考虑前缀和 $s(n)=\sum\limits_{i=1}^{n} f(i)$

$$s(n)-s(n-1)=(s(i-1)-s(i-x-1))\times (m-1)\\ s(n)=m\times s(i-1)+(1-m)\times s(i-x-1),~s(0)=1$$

考虑它的组合意义，相当于我们从 $0$ 开始跳，$m$ 种方法跳一个，$1-m$ 中方法跳 $x+1$ 个，要跳到 $n$，的方案数。

枚举跳了多少次 $x+1$ 个，复杂度是调和级数。然后瞎几把搞一搞就啊掉了。

代码

C. walk

题意

数轴上有 $n$ 个餐馆，第 $i$ 个的位置在 $i$，其中有食物，质量为 $a_i$ 。一人在数轴上走，从 $0$ 开始，初始质量是 $1$，有一个能量值 $x$。他每走一个单位长度，消耗的能量（数值上）等于当前质量。可以随便走（可以经过任意点任意次），并且任意选择吃不吃，但是同一个餐馆只能吃一次。
现要从 $0$ 出发，走一圈并回到 $0$，且保持能量值 $\ge 0$。问最多能吃多少质量食物。

$n,x\le 10^6$

做法

首先我们发现，如果我们确定了要吃哪个集合，肯定是在 $1$ 的质量下先走到最远的地方，再一路吃回来。

为啥？因为吃一家餐馆对能量消耗的贡献等于，吃完它之后走了多长才回去，乘以 $a_i$。那对于每家餐馆我们肯定希望吃完尽快回去，于是都放在后面吃，最优。也可以用反证，把餐馆放到前面去吃，走的路更长，消耗更多，更劣。

然后设 $f(i,j)$ 表示，到达最远点后折返的路上，折返到 $i$，当前吃的质量和为 $j$，消耗的最少能量。如下图。

然后我们发现，这个 $j$ 对以后的贡献，至少得有一个 $j\times i$。于是这个 $j$ 就要 $\le x/i$。

然后我们又惊喜的发现，枚举这个 $i$，再枚举这个 $j$，复杂度调和的。

然后我们就又惊喜的过了。

代码

总结

1. 不要被题目的奇奇怪怪的外表迷惑，冷静一下，从本质入手分析问题

2. 推着推着式子不要推的太上头，时不时跳出来看一下，现在是否已经能做了

   如我考场上做 T2,T3 的时候，都想到了和正解一样的 dp（作为其中一个可能思路之一），但是我没看出来直接调和级数就能A掉了，两个题都因此与正解失之交臂

3. T1是真的妙妙题！！！

4. 并不一定需要死磕一个思路，试试别的几个思路，是否同样能做

   比如我T2就一直想着优化我那个 $O(n^2)$ 的做法，而忽略了我随手写在纸上的那个递推式，小小优化一下，就能成为正解

后记：T2的神秘 $O(n^2)$ 做法

一上来的转化同。现在变成限制 $\le x$ 咋做。

$f(i,j)$ 表示，到 $i$，后缀的最长的同色段长度为 $j$，方案数。对于 $x$ 的限制，只要控制所有的 $j$ 都 $\le x$，把 $>x$ 的忽略，即可。

然后我们发现它有两种转移，$f(i,j)\rightarrow f(i,j+1)$，$f(i,j)\times (m-1)\rightarrow f(i+1,1)$

设 $i$ 这个是“行”，$j$ 这个是“列”。考虑两行之间的差异：下一行相当于上一行整体右移一位，然后把上一行的和 $\times (m-1)$，放在下一行的第一个。如果这样一位移，有超出 $x$ 的，手动设为 $0$ 即可。

然后我们把序列反过来，相当于要求支持：后面加数，前面删数，动态维护和。用队列维护即可。对于一个 $x$ 是 $O(n)$ 的。

讲这个的原因是我觉得这个思路也挺妙的，用队列直接维护dp数组，而不是常见的单调队列来优化dp转移。