妙妙题 noi.ac 2323 Connecting

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• 题意
• 从数据入手

题意

数一个 $n$ 个点图的子连通块数，对 $2$ 取模。即，#（选一个点集的子集，使得它连通）。空集不算。

$n\le 50$。对于边 $u,v$，$|v-u|\le 13$

从数据入手

首先这个对 $2$ 取模一看就性质很好，它有啥性质呢？

这个 $|v-u|\le 13$ 似乎也有着一些性质：一个点的度数不会超过 $27$；进一步，如果我们按顺序考虑点，它连向前面的点的边数 $\le 13$。

设一个点集 $V$ 的子集 $S$ 的导出子图的连通块数为 $c(S)$。我们要求：

$$(\sum\limits_{S\sube V,s\neq\empty} [c(S)=1] ) \bmod 2$$

而我们的 $c(S)$ 应该都 $\ge 1$，所以不用考虑 $0$，把 $>1$ 的去掉即可。

但是要求 都 去掉。如果给 $c(S)$ 模 $2$，$=3,=5...$ 那些还是会留下来。

要求 都 去掉，容易想到在 $poly$ 题里面，会有模 $x^n$ 以去掉 $n$ 次项以上的方法。这题也同理，我们考虑

$2^{c(S)}\bmod 4$。$c(S)=1$ 的时候会取到 $2$，$>1$ 的时候就变成了 $0$。那好办，最后给它除掉一个 $2$ 即可。

这是这道题的精髓

其实你也可以用 $3^{c(S)}\bmod 9$，但是那个就要复杂，不好 dp

然后这个东西的组合意义很好：假设已知了 $S$，给每个连通块黑白染色（同一个块同色），方案数就是 $2^{c(S)}$。

但现在不知道 $S$，我们相当于要先选一个 $S$，再染色。但其实我们的条件还是不变：同一个块同色。转化一下（逆否条件），如果两个点异色，就不能再同一个块；再等价，就是 黑白两个点不能有边相连。

如果要处理这个 “先选一个 $S$”，可以搞一个 "灰色”：表示不选某个点。灰色和黑白点间没有任何的限制，它单纯是为了区分选了和没选的点。

然后注意到一个点前面只有 $13$ 个点，状压记录它们染了啥颜色，dp算一下即可。复杂度 $O(n\times 3^{13})$