妙妙题 noi.ac 2323 Connecting
题意
数一个 \(n\) 个点图的子连通块数，对 \(2\) 取模。即，#（选一个点集的子集，使得它连通）。空集不算。
\(n\le 50\)。对于边 \(u,v\)，\(|v-u|\le 13\)
从数据入手
首先这个对 \(2\) 取模一看就性质很好，它有啥性质呢？
这个 \(|v-u|\le 13\) 似乎也有着一些性质：一个点的度数不会超过 \(27\)；进一步，如果我们按顺序考虑点，它连向前面的点的边数 \(\le 13\)。
设一个点集 \(V\) 的子集 \(S\) 的导出子图的连通块数为 \(c(S)\)。我们要求：
而我们的 \(c(S)\) 应该都 \(\ge 1\)，所以不用考虑 \(0\)，把 \(>1\) 的去掉即可。
但是要求 都 去掉。如果给 \(c(S)\) 模 \(2\)，\(=3,=5...\) 那些还是会留下来。
要求 都 去掉，容易想到在 \(poly\) 题里面，会有模 \(x^n\) 以去掉 \(n\) 次项以上的方法。这题也同理，我们考虑
\(2^{c(S)}\bmod 4\)。\(c(S)=1\) 的时候会取到 \(2\)，\(>1\) 的时候就变成了 \(0\)。那好办，最后给它除掉一个 \(2\) 即可。
这是这道题的精髓
其实你也可以用 \(3^{c(S)}\bmod 9\)，但是那个就要复杂，不好 dp
然后这个东西的组合意义很好：假设已知了 \(S\)，给每个连通块黑白染色（同一个块同色），方案数就是 \(2^{c(S)}\)。
但现在不知道 \(S\)，我们相当于要先选一个 \(S\)，再染色。但其实我们的条件还是不变：同一个块同色。转化一下（逆否条件），如果两个点异色，就不能再同一个块；再等价，就是 黑白两个点不能有边相连。
如果要处理这个 “先选一个 \(S\)”，可以搞一个 "灰色”：表示不选某个点。灰色和黑白点间没有任何的限制，它单纯是为了区分选了和没选的点。
然后注意到一个点前面只有 \(13\) 个点，状压记录它们染了啥颜色，dp算一下即可。复杂度 \(O(n\times 3^{13})\)
