2021NOI挑战赛 第一场 模拟参加

由于noi.ac并没有vp的功能，我就只能自己设一个闹表，反正差别不大。

题面

T1 Nim

给定 $n$，问有多少个数组 $a_1,a_2...a_n$，满足：

• $a_i\in[0,2^n)$
• $a$ 数组异或和非 0
• $a$ 数组两两相异

$n\le 10^7$，膜 $10^9+7$

T2 String

给一个 $k$。集合 $S$ 中包含满足如下条件的字符串：

• 只有小写英文字母
• 相邻的字符不同
• 总共有 $k$ 种不同的字符出现，出现次数分别为 $1,2...k$

再给一个 $n$，求 $S$ 中字典序排第 $n$ 位的串。

$k\le 26,n\le 10^{18}$

T3 Segment

现在有一个长度为 $n$ 的数组 $a$，$m$ 个操作，$q$ 个询问。

第 $i$ 个操作用 $l_i,r_i$ 描述，表示将 $a[l_i...r_i]$ 中的所有数都变成这些数的最大值

现在要支持两种询问

• 单点修改 $a$
• 给定 $L,R,k$，假设 进行了区间 $[L,R]$ 中的操作， $a_k$ 的值是多少

$n,m,q\le 10^5$，任何时刻中 $a$ 数组中的所有值不会过 $10^5$。

赛时

0+10+30，几乎等同于没打。这里讲一下心路历程吧

T1 Nim

我试了好几个思路：容斥，斯特林反演+容斥，异或方程与线性方程一块解...

显然，这几个思路看起来就不是一个签到题的思路（当然，我当时并不知道这是个签到题）

另一个显然的事实是，这几个思路我都写不出来，于是我 T1 喜提 0 分的好成绩

实际上那个题就是一个简单的要死的一维递推，我居然想不出来 —— 看来是被“NOI”三个字吓住了

T2 String

我真的对这种题毫无头绪，打了10分暴力就跑了

其实后面也有想，只不过根本没有任何有效思路

T3 Segment

我一看，哇，数据结构，我会做

我一开始想了一个树套树，觉得非常对，啪啪打完了200多行，脑子一转 —— 假了

（心态 -114514）

此时我的大脑进入了空白。

冷静了一下，我想到了一个30分暴力，用了时间逆流考虑贡献的思维方法

显然我们发现最后每个位置的值，都是原来某一段连续区间中的最大值。考虑这样的一波操作，把哪些最大值给“捞”过来了。我们称这个区间为 “最大值区间”

从区间 $[k,k]$ 开始，倒序遍历 $[L,R]$ 中的操作，发现只有那些有交集的操作区间才影响，并且会把当前的最大值区间和这个操作区间取并集。最后我们求一下这个最大值区间的最大值就是答案了。复杂度是每次 $O(m)$，即 $O(mq)$

赛后

100+0+100 （不算赛时分）

T2我是真的妹懂qaq

T1 Nim

我是真没想到，这题就是一个超级傻逼的递推

设 $f(i)$ 表示从 $[1,2^n)$ 中选 $i$ 个，各不相同，xor=0，的方案数。最后的答案就是 $\binom{2^n-1}{n}n!-f(n)$

设选的是 $x_1,x_2...x_{i-1},x_i$。它们的xor和得是 $0$。那 $x_i=x_1\oplus x_2...x_{i-1}$，考虑减去不合法的

1. $x_i=0$ （因为我们不能选 $0$，所以这不合法）。

   此时，前面 $i-1$ 个的异或和也是 $0$， 所以它的方案数显然就是 $f_{i-1}$

2. $x_i=x_k,1\le k<i$。即，重复了

   那这么说，前面 $i-1$ 个除去 $x_k$ （一共 $i-2$ 个）的xor和得是 $0$。那这个方案数就是 $f_{i-2}$，吗？

   首先 $k$ 有 $i-1$ 种选法，其次 $x_k$ 只需要和这 $i-2$ 个不同即可，有 $(2^n-1)-(i-2)=(2^n-i+1)$ 种选法。所以这个情况应该是有 $(i-1)(2^n-i+1)f_{i-2}$ 种

然后，随便选 $i-1$ 个不同的（确定 $x_{1...i-1}$），方案数就是排列数（下降幂） $=(2^n-1)^{\underline {i-1}}$

于是我们得到递推：

$$f_i=(2^n-1)^{\underline{i-1}}-f_{i-1}-(i-1)(2^n-i+1)f_{i-2}$$

然后这个下降幂可以一块递推，$2^n$ 也可以一块递推，就可以严格线性的搞掉它。

T3 Segment

上面那个东西已经很接近正解了，我们考虑优化它

我们观察最大值区间的变化 —— 把左右端点分开观察。下面以左端点为例。

如果左端点要减小，那一定是找到了一个区间，使得它能够在覆盖当前区间，并且往左超出一点。换句话说，覆盖了当前区间的左端点。而且这样之后，我们的左端点会被换成另一个区间的左端点。

所以，我们可以直接 用操作区间的编号代替左端点的值。然后我们相当于每次要往前跳，跳到一个区间使得它的左端点可以覆盖当前区间的左端点，并且离的最近。然后我们不断的跳，直到不能跳为止。

脑袋转一转发现，对于同一个区间，我们跳的位置是一定的，于是我们可以用倍增来优化这个跳的过程。

那我们怎么预处理一个区间的最近的覆盖它左/右端点的区间呢？只需要按顺序枚举操作区间，然后搞一个线段树。设当前是第 $i$ 个区间 $[l_i,r_i]$，我们把 $[l_i,r_i]$ 中的数都和 $i$ 取 $\max$。对于查询，就查询一下左端点/右端点位置上，线段树的值就行了。因为这个值相当于，“能覆盖某个位置的区间中，最大的编号”。由于我们按顺序枚举，这个“最大的编号”就相当于“离的最近”。这样就处理出了 jump[][0]。然后再倍增一下，就能得到 jump 数组了。

代码

T1

T3

总结

大一点讲

• 思维要发散，也要有可写性

  不要搞一个不会解的方程出来，比如T1的异或/线性混合方程组

• 不要把简单问题复杂化，也不要用高级方法乱搞一通而忘记最基本的

  wwq 进入直播间

  wwq 把 zps 骂了一顿，说：“最基本的！最基本的都不会了！”

• 有了好想法，想着去优化，别瘫在椅子上

• 整体与个体相结合

  有时我们需要看整个区间，但也需要把左右端点分开看，如 T3

  有时我们需要把一个数按位拆开，但也需要看整个数，如 T1

  有时我们需要把物体分开来受力分析，但也需要合在一块，排除内力，简化问题

细一点讲

• 对于 $10^7$ 这样的数据，要求严格线性的那种，一般都不会涉及太难的这个那个卷积之类的，多是简单的一维递推，顶多加上一些线性筛之类的
• 对于 “假设进行了区间中的操作，...”，可以反过来考虑贡献，考虑最后的答案经历了什么过程才得到
• 对于“找最近的xxx，满足xxx条件”之类的东西，一般都可以考虑倍增解决