笔记 dp套dp

笔记 dp套dp

笔记 dp套dp

本篇侧重理解。

从本质入手

dp的本质: 我们有一个要解决的问题，把问题分成若干步(dp的阶段), 每一步都有一个状态表示(dp的状态)，然后考虑状态间的转移。dp把问题通过某种顺序解决，使得我们可以 不记录 一些东西，而只记录我们关心的东西，以压缩我们描述状态用的东西

简单的说，就是我们把研究的问题的特征打包变成一个节点，节点连成DAG（通常），然后我们在DAG上拓扑的跑，就是dp的转移。

进一步思考

现在有一个能dp的问题，给定一个答案，求有多少种问题，使得输入它能得到给定的答案。

答案不一定是一个简单的数

首先我们必做的一件事情是，把这个问题的dp搞出来（这个不搞后面咋搞）

接下来，能得到“答案”，还能如何变形？可以想到，把它变成能得到（内层dp的某一些） “状态”/“节点”

一拍脑袋觉得很有道理，接下来我们就有了设计外层dp的大方向：我们用和内层dp类似的方式拆解原问题，但是在每个阶段里，我们不去求答案，而是算有多少种输入能使得内层dp的值，长成某个我们想要的样子。

那外层dp的大概样子就是 $f(U,P)$ 表示，内层dp考虑到 $U$ 节点，我们要研究的（若干个）内层dp值（打个包）是 $P$ ，的方案数。

为啥要考虑内层dp的节点？

因为我们和内层dp一样拆问题，就比如序列问题，内层dp是一位一位考虑，那我们外层的dp也一位一位的考虑，这时候我们的状态里就会和内层dp一样，有一个当前位置 $i$ 。

为啥我们要可能研究不止一个内层dp值？如何打包？

这个看内层dp的转移，如果要用到很多前驱dp值，那我们可能就要把一些dp值，比如说一行的dp值，给打包一下

打包方法最常见的就状压吧，其它的方法和状压也差不多，比如可能会有三进制状压之类的

检验真理

来点实践。

bzoj3864 Hero meet devil

给定一个串 $S(|S|\le 15)$ ，和一个 $m$ 。对于 $k=0...|S|$ ，要求有多少串 $T$ 使得 $|T|=m$ 且 $LCS(S,T)=k$ 。（这里LCS是子序列）

考虑LCS的dp， $f(i,j)$ 表示 $LCS(T[:i],S[:j])$ 。这个显然可以转移，但是我们发现更多性质，就是 $f(i,j+1)\ge f(i,j)$ ，但是 $f(i,j+1)\le f(i,j)+1$ 。这两个都很显然，但是这代表 $f(i,*)$ 的差分数列就是个 0/1 数列。

那我们就可以压了（注意到 $|S|\le 15$ ，显然可以压）。根据上面那一套思想，我们外层 dp 就这么设计：

$f(i,M)$ 表示 $T$ 到 $i$ ，这一行的内层dp数组做差分后压缩一下为 $M$ ，的方案数。

你可能会问，原dp中的j哪去了。注意到我们直接把一整行打包了，所以这个j就没了，并且我们转移的时候是直接一整行转移的。

接下来我们考虑 $T$ 到 $i+1$ ，加了某个字符。但是加上字符的变化，可以推一下，和 $i$ 并没有关系，只和这一行的 $dp$ 状态 $M$ 有关。那我们可以很容易的从 $f(i,M)$ 转移到 $f(i+1,M')$ ，最后随便统计一下就得到答案了。

TopCoder StringPath

给定两个长为 $n+m-1$ 的串 $A,B$ ，问有多少个 $n\times m$ 的字母矩阵，使得它恰好存在两条从左上到右下的路，一条的字符连起来是 $A$ ，另一条是 $B$ 。

同样用类似的套路，先考虑内层dp。

内层的dp是用一个二维的 $dp[i][j][2]$ 记录到 $(i,j)$ ，是否能匹配 $A/B$ 的前 $i+j-1$ 位。

接下来考虑外层dp。就是考虑有多少个字符矩阵能到达某个内层dp的状态。内层dp的值我们发现它就是两个0/1，果断状压。

然后我们和内层一样，按枚举坐标 $(i,j)$ 考虑，并想怎么转移到 $(i,j+1)$ 。我们发现这个东西的转移和左，上有关，并且还要可延续（即不能只记录它的左，上），所以我们压0/1压的是轮廓线，一条轮廓线存 $m$ 个，而因为有 A,B 两个串，所以要存两条。

这里有个小细节，这个轮廓线应该是包含 $(i,j)$ ，即 $(i,j+1)$ 头上的那条轮廓线，如下图，如果红色表示 $(i,j)$ ，那我们记录的轮廓线是蓝色这一带。

实现的时候，我们直接拿状压的bitmask的（从低到高）第i位，表示轮廓线从左到右的第 $i$ 个，而不是从上面开始数，一直顺序记到 $(i,j)$ 为止

~~也就只有我这种傻逼会想到后者这种阴间记法吧~~