博弈论 笔记

目录

• 前言&简介
• 有向图游戏
• SG函数与SG定理
  • SG函数
  • SG定理
• 应用

前言&简介

博弈论太大了，全都要考的话，竞赛生涯就结束罢

那么，什么是博弈？我们研究什么样的博弈？

博弈论，是经济学的一个分支，主要研究具有竞争或对抗性质的对象，在一定规则下产生的各种行为。博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。

通俗地讲，博弈论主要研究的是：在一个游戏中，进行游戏的多位玩家的策略。

—— OI WIKI

现在我们知道，博弈论差不多就是van♂游♂戏。但是我们显然不会真的研究玩大型电脑游戏的策略，不然就是电子竞技了。我们（大概率）也不会去研究象棋，围棋的策略，不然就是棋类竞赛了。OI中研究的多数是 公平组合游戏。

它需要满足一些条件：

• 某一个动作，一方可以做，那另一方也可以做
• 双方都知道完整的游戏信息，也不存在平局
• 同一个状态不能到达多次
• 游戏能够在有限步内结束，不能动的那一方输

比如，围棋不是公平组合游戏，因为黑方不能动白棋，白方也不能动黑棋。同理，象棋也不是。当然，打扑克、麻将等游戏也不是，因为你不能知道别人手里是什么牌。、

有向图游戏

这是一种公平组合游戏。有一张有向图，上面有一个棋子。双方轮流移动棋子走一条边，走不了的输。

对于一个有向图游戏，我们可以用拓扑排序，根据以下三条原则，来求出从每个点开始的胜负情况。称先手必胜的为“胜点”，否则为“负点”。

• 如果一个点没有后继，那么它是负点
• 如果一个点的后继里有一个负点，那么它是胜点
• 如果一个点的后继里全是胜点，那么它是负点

还挺显然的，不需要证明吧。

SG函数与SG定理

SG，即Sprague和Grundy，是这个定理的发现者（两人）的名字。

我们来考虑一个情况，现在有 $n$ 个有向图游戏，游戏双方轮流移动；每次可以任意选择其中一个游戏，并移动棋子走一条边；不能动的人输。

那怎么解决？当然，你可以把每个有向图中的点放在一起，形成一个数组，然后把这个数组作为游戏的状态，合并成一个大的有向图。那当然可以，就是复杂度有一小点高。

那怎么优化复杂度？别想了，你要是能自己独立想出来，Sprague和Grundy就自闭了。

他俩提出了这个以下东西

SG函数

对于一个有向图上的点 $u$，

$$SG(u)=\begin{cases}0 & (u\in end)\\mex\{SG(v)|v\in nex(u)\} & (else)\end{cases}$$

其中，集合 $end$ 表示终止节点；$nex(u)$ 表示 $u$ 的后继状态；而 $mex$ 函数，表示一个集合中没有出现的，最小的 自然数。mex 是 minimum excluded 的缩写 （据wikipedia）

SG定理

对于一个 $n$ 个有向图组成的游戏，设其起点为 $s_1,s_2...s_n$，令 $X=s_1\oplus s_2...\oplus s_n$，那么：

• 当 $X=0$ 时，先手必输
• 否则先手必赢

其中 $\oplus$ 表示按位异或。

应用

• Nim 游戏
• 各种题 （假如能看出是个公平组合游戏模型，并写出SG函数）