博弈论 笔记
前言&简介
博弈论太大了，全都要考的话，竞赛生涯就结束罢
那么，什么是博弈？我们研究什么样的博弈？
博弈论，是经济学的一个分支，主要研究具有竞争或对抗性质的对象，在一定规则下产生的各种行为。博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。
通俗地讲，博弈论主要研究的是：在一个游戏中，进行游戏的多位玩家的策略。
—— OI WIKI
现在我们知道，博弈论差不多就是van♂游♂戏。但是我们显然不会真的研究玩大型电脑游戏的策略，不然就是电子竞技了。我们（大概率）也不会去研究象棋，围棋的策略，不然就是棋类竞赛了。OI中研究的多数是 公平组合游戏。
它需要满足一些条件：
- 某一个动作，一方可以做，那另一方也可以做
- 双方都知道完整的游戏信息，也不存在平局
- 同一个状态不能到达多次
- 游戏能够在有限步内结束，不能动的那一方输
比如，围棋不是公平组合游戏，因为黑方不能动白棋，白方也不能动黑棋。同理，象棋也不是。当然，打扑克、麻将等游戏也不是，因为你不能知道别人手里是什么牌。、
有向图游戏
这是一种公平组合游戏。有一张有向图，上面有一个棋子。双方轮流移动棋子走一条边，走不了的输。
对于一个有向图游戏，我们可以用拓扑排序，根据以下三条原则，来求出从每个点开始的胜负情况。称先手必胜的为“胜点”，否则为“负点”。
- 如果一个点没有后继，那么它是负点
- 如果一个点的后继里有一个负点，那么它是胜点
- 如果一个点的后继里全是胜点，那么它是负点
还挺显然的，不需要证明吧。
SG函数与SG定理
SG，即Sprague和Grundy，是这个定理的发现者（两人）的名字。
我们来考虑一个情况，现在有 \(n\) 个有向图游戏，游戏双方轮流移动；每次可以任意选择其中一个游戏，并移动棋子走一条边；不能动的人输。
那怎么解决？当然，你可以把每个有向图中的点放在一起，形成一个数组，然后把这个数组作为游戏的状态，合并成一个大的有向图。那当然可以，就是复杂度有一小点高。
那怎么优化复杂度？别想了，你要是能自己独立想出来，Sprague和Grundy就自闭了。
他俩提出了这个以下东西
SG函数
对于一个有向图上的点 \(u\)，
其中，集合 \(end\) 表示终止节点；\(nex(u)\) 表示 \(u\) 的后继状态；而 \(mex\) 函数，表示一个集合中没有出现的，最小的 自然数。mex 是 minimum excluded 的缩写 （据wikipedia）
SG定理
对于一个 \(n\) 个有向图组成的游戏，设其起点为 \(s_1,s_2...s_n\)，令 \(X=s_1\oplus s_2...\oplus s_n\)，那么：
- 当 \(X=0\) 时，先手必输
- 否则先手必赢
其中 \(\oplus\) 表示按位异或。
应用
- Nim 游戏
- 各种题 （假如能看出是个公平组合游戏模型，并写出SG函数）
