回文自动机 笔记
基础题型
给你一个字符串，对于每个前缀，求该前缀中有多少前缀不同的回文子串。定义一个回文子串的权值为：长度乘以出现次数。对于每个前缀，也请你求出最大的回文子串的权值是多少。
回文自动机（又名回文树）是干啥的
众所周知，在TRIE树上，每个节点表示一个字符串，字符记录在边权上。连一条边表示在这个字符串后面加上一个字符。
那么，回文自动机是怎么弄的的？连一条边，表示在这个字符串前后各加上一个字符。比如某个父亲的字符串为"aba"，连了一条权值为'c'的边到儿子，儿子的字符串就是"cabac"。
然后要注意一点，回文自动机有两个根。其原因很显然，因为一个父亲以下的字符串长度的奇偶性不会改变。所以，两个根分别记录奇数长度和偶数长度的回文串，名字就叫奇根和偶根。偶根很好理解，表示一个空串，其长度为\(0\)。那么，奇根怎么办呢？仔细一推，单个字符长度为\(1\)，其父亲的长度为其长度\(-2\)，也就是说，奇根表示的字符串长度为\(-1\)？！
没事，\(-1\)就\(-1\)，只不过是为了方便计算罢了。实际实现中，考虑到空间问题，我们并不会实际记录表示的字符串，只是记录一个长度\(len\)。那么，只要让这个点的\(len=-1\)即珂，一点问题都没有。
fail指针
精髓（准确来讲，是每个自动机的精髓）。对于一个节点，它的\(fail\)指针是指：除了自己之外，LPS（Longest Palindrome Suffix，最长回文后缀）所对应的点。
如果你仔细咀嚼了这句话，那么你会想这样一个问题：除了自己之外的最长回文子串一定在树上能找到吗？
证明fail一定在树上能找到
（如果您能自己证明，请跳过这段）
设当前节点表示字符串\(s\)，\(fail\)指向的节点所对应为\(f\)，\(f^t\)表示把\(f\)反过来，\(|f|\)表示\(f\)的长度，如图所示。
由于\(S\)是回文串（根据定义），\(S\)的前缀\(|f|\)个字符串和后缀\(|f|\)。\(S\)和\(f\)都是回文的，非常容易证明，\(S\)的\(|f|\)个前缀和这么长的后缀是一样的。
那么，\(f\)在后面出现一遍，就说明在前面也出现了一遍。由于我们是从前往后加入到树上的，所以这个串一定能找到。
证毕 \(\blacksquare\)
如何构建
上面讲了一下，我们是按照从前往后的顺序插入\(s\)的每个字符的。对于插入第\(i\)个位置，我们的任务是找到其\(LPS\)，并把它插入到树上的正确位置。那么，如何找到呢？
等价一下，这个节点满足：
- 它是i-1位置的一个回文后缀
- 它左右字符相等，都是\(s[i]\)
对于满足条件1，我们记录一个\(last\)，表示\(i-1\)插入在了树上哪个位置。（当我们插入完\(i\)的位置的时候，我们令它为我们找到的位置，即珂维护）
然后\(last\)显然就是\(i-1\)的一个回文后缀。但是我们要找到所有的回文后缀，那没问题，我们不断的跳\(fail\)即珂。
然后还要满足条件2。设现在我们跳到了点\(cur\)，这个点上的长度值为\(len(cur)\)。只要判断\(s[i]==s[i-len(cur)-1]\)即珂。如果满足就退出，不满足就\(cur=fail(cur)\)，继续循环。
关于\(fail\)的维护：很简单，和上面找到父亲的过程只差一个\(cur\)初始值的区别。因为\(fail\)指针要满足不等于自己，所以，\(cur\)的初始值，不是\(father\)，而是\(fail(father)\)。和找到父亲的步骤还有一点点不同，就是最后找到一个\(cur\)满足\(s[i]==s[i-len(cur)-1]\)的时候，返回的不是\(cur\)而是\(cur\)的边权为\(s[i]\)的儿子。这里还有一个至关重要的细节要注意，先求出fail指针，才能连边。代码中会提到。
那么我们来举一个例子。我们要构建的字符串s="bilibili"。
初始化，构建奇根和偶根。红色是奇根，绿色是偶根。特殊地（忘了讲了），奇根和偶根的\(fail\)指针（黄色）互相指向对方。
第一步，插入位置\(1\)。默认是插入到\(0\)上，失败了再跳\(fail\)。我们发现，\(s[1]!=s[1-len(0)-1]\)，于是跳了\(fail(0)=1\)，然后显然满足了。我们还发现，此时还没有节点，便新建一个节点（编号为\(2\)），把它接在奇根（\(1\)）下面。跳一下\(fail\)，发现\(fail\)是\(0\)（显然）。由于很多节点的\(fail\)都是\(0\)，这些边我就不连了（为了看起来美观）。效果图：
时间关系，我们不仔细看每一个位置的插入过程，直接跳到第\(5\)个位置的插入。这之前的图建出来长这样：
第五步，插入位置\(5\)，此时前缀为\(bilib\)。默认插入在\(last\)上，也就是编号\(5\)的位置。我们一下就满足了条件，所以我们的确要接在\(last\)下面。求一下\(fail\)指针，先到\(fail(5)=3\)试一下，发现，不行。然后跳到\(fail(3)=0\)试一下，还不行，跳到\(fail(0)=1\)再试一下，行了，返回\(1\)的边权为\(s[i](='b')\)的儿子，也就是编号为\(2\)的节点。完成之后，图长这样：
（跳过114514步）
最终完成图：
然后我们这就构建好了一个回文自动机。
代码
class Palindrome_Tree //我喜欢写面向对象
{
public:
char s[N];
struct node
{
int len,fail;
int ch[26];
}t[N];//保存一个节点
node& operator[](int id){return *(t+id);}
int last;
int cnt=1;//上一次插入在哪
void Init(char ss[N])
{
FK(t);
strcpy(s+1,ss+1);
t[0].len=0;t[0].fail=1;
t[1].len=-1;t[1].fail=0;//len=-1!!!!!
//注意:fail是互相指的
last=0;//开始默认接在0上,后来就接在last上,不行就跳fail
}
int Getfail(int fa,int pos)
{
int cur=t[fa].fail;
for(;s[pos]!=s[pos-t[cur].len-1];cur=t[cur].fail); //不行就跳fail
int id=s[pos]-'a';return t[cur].ch[id];//返回fail的儿子，记住藤野先生的话
}
void Insert(int pos)
{
// printf("Insert %d\n",pos);
// 方便理解用
int cur=last;//注意初始值
while(s[pos-t[cur].len-1]!=s[pos])
{
cur=t[cur].fail;
}//同上，不行就跳fail的过程
int id=s[pos]-'a';//当前字符
if (t[cur].ch[id]==0) //如果还不存在这个节点
{
++cnt;//新加一个节点
t[cnt].len=t[cur].len+2;//len+=2，显然
t[cnt].fail=Getfail(cur,pos);//求出fail
t[cur].ch[id]=cnt;//次序关键！先求fail，再连边
// printf("fail[pos]=%d\n",t[cnt].fail);
}
last=t[cur].ch[id];
}
}T;
应用
我们讲了这么多，来解决些实际问题。
-
本质不同的回文串个数
每个点（除了奇根和偶根）都一一对应一个本质不同的回文串。只要输出\(cnt-1\)即珂。（应该是点数-2，但是由于我是从0开始算点的，所以-1才是正确的） -
每个回文串的个数
每个点维护一个值\(cnt\)（重名了，但是因为命名空间不一样，写在struct里，所以不会报错）。然后插入一个点时，找到它所在的树上位置，该点上\(cnt++\)。最后再\(cnt[fail(i)]+=cnt[i]\)，i从\(n\)到\(1\)。和\(KMP\)中计算每个前缀出现的次数是类似的原理。
尝试一下：
