树链剖分 笔记

目录

• 前言
  • 公共套路
  • 重链剖分
  • 长链剖分
  • 虚实剖分

前言

树链剖分用于转化树上的问题，使得它更容易考虑，解决。 主要分两（三）种（虚实剖分会在 LCT 里面讲，剩下的是重链剖分和长链剖分）

公共套路

对于每个节点，钦定 一个儿子当“重儿子”，然后每个点和重儿子形成的链叫“重链”，其它的是“轻链”。然后树会变成若干条直链拼一起，于是把树上的路径问题变成了序列上的问题。

重链剖分

重链剖分用于在 $O(\log n)$ 的时间里拆分任意的链。它适合套个线段树，主席树，线性基，堆等能合并的数据结构，来解决树上的路径问题。

它选重儿子的方法是：$size$ 最大的是重儿子。“容易证明”，这样的话，每一条路径都顶多会被拆成 $O(\log n)$ 条链。

证明：

不是我口胡，真的好证。对于每条路径 $(u,v)$，我们把它拆分成 $(u,LCA)+(LCA,v)$。然后现在就变成了一条直链，证明它最多会被划分成 $\log$ 条重链。继续观察，我们发现：一条链被划分成的重链数=它经过的轻边数+1（因为轻边是划分重链的）。那我们只要考虑它经过多少轻边。

对于一个点 $u$，我们走一条轻边到 $v$，它的 $size$ 至少会除以 $2$。反证：如果 $size[v]>size[u]/2$，那么显然 $v$ 是重儿子，然而我们设 $(u,v)$ 是轻边，矛盾。所以这个结论成立。

那么一条链经过的轻边数就是 $O(\log n)$ 的。两条加一起就是多一个常数，还是 $\log$ 的。

然后就非常的 simple 了，只要序列上能做的问题，就能多一个 log 的时间放到树上。

当然，有些问题要注意方向。比如求路径上矩阵的乘积，这种记得多讨论亿点细节。

还有，在一个不是刻意构造的树上，一般来讲重链剖分常数是很小的。那就可以考虑重链剖分求 LCA。尽管代码比倍增长不少，但是它很快。

长链剖分

长链剖分用来不带 $\log$ 的解决只跟深度有关的问题。

可以想象一下，它要是也是 $\log$，那还不如写重链剖分；它既然被发明出来，那它一定有它独一无二之处。它就是那种，在一个小问题上做到极致的算法。

不废话了，讲。

和重链剖分只有一个不同，就是它定义重儿子为最 "深" 的儿子。最“深”的儿子，形式化的，就是点 $v\in son(u)$，使得它的 $d_{max}$ 最大，其中 $d_{max}(u)=max\{dep[v] | v\in subtree(u)\}$。

在讲到长链剖分的时候，一般管重链叫“长链”。

长链剖分基本性质：如果 $x$ 是 $y$ 的 $k$ 级祖先，那么 $x$ 所在的长链长度肯定 $>=k$。

这个性质yanQval直呼显然，因为如果 $x$ 所在的长链长度 $<k$，那把它换成 $<x,y>$ 这条链，就会更长，与长链的定义矛盾。

然后看它能干啥。

1. $O(1)$ 求 $k$ 级祖先（预处理有 $\log$，查询没有）

   首先要预处理倍增数组。

   然后还要预处理一个东西：对于每条重链的链顶 $t$，假设链长度为 $d$，预处理出 $t$ 往上往下 $d$ 个位置，用 vector<> 存。显然，所有链的长度加起来是 $n$。所以这一步的占用空间是 $2n$。不会炸。

   然后还要预处理出 $\log_2$ 数组（也就是二进制最高位）

   然后开始查询。

   先找到最大的 $x$ 使得 $x<=k$ 并且 $x$ 是二的幂（查 $\log_2$ 数组）。用倍增数组跳上去。

   设跳到了 $x'$。根据基本性质，$x'$ 所在的长链长度肯定 $>=x$。由于 $x$ 是最大的二次幂，所以 $x>k-x$。于是 $x'$ 所在的长链长度肯定 $>k-x$。然后查表就行了。

2. 线性存储每个点跟深度有关的数组

   做树上问题会经常遇到一个数组：$f_{u,i}$ 表示 $u$ 的子树中和 $u$ 距离 $i$ 的 xxxx。

   然后考虑把所有的 $f$ 存在一个内存池里，然后 $f_u$ 可以直接继承其重儿子，对于轻儿子，就更新一下就好了。

   关于如何继承：设 $u$ 的重儿子是 $s$，那么 $f_{u,i}=f_{s,i-1}$。

   如果 $f_u$ 在内存池中的指针是 $p$，直接令 $f_{s}=p+1$ 即可。

   然后对于 $u$ 的每个轻儿子 $v$，$f_{u,i}+=f_{v,i-1}$

   显然这里 $i$ 枚举的范围是：轻儿子所在的重链长度

   所有重链长度和为 $n$。所以这样做复杂度是 $O(n)$ 的。然而实际存储似乎需要四倍常数。不知道咋整的。

虚实剖分

它是一个动态钦点重边的剖分。

先不看下去，就看“动态”二字，想象一下它在干什么。然后就可以去看 LCT 一章了！