树链剖分 笔记
前言
树链剖分用于转化树上的问题，使得它更容易考虑，解决。 主要分两（三）种（虚实剖分会在 LCT 里面讲，剩下的是重链剖分和长链剖分）
公共套路
对于每个节点，钦定 一个儿子当“重儿子”，然后每个点和重儿子形成的链叫“重链”，其它的是“轻链”。然后树会变成若干条直链拼一起，于是把树上的路径问题变成了序列上的问题。
重链剖分
重链剖分用于在 \(O(\log n)\) 的时间里拆分任意的链。它适合套个线段树，主席树，线性基，堆等能合并的数据结构，来解决树上的路径问题。
它选重儿子的方法是：\(size\) 最大的是重儿子。“容易证明”，这样的话，每一条路径都顶多会被拆成 \(O(\log n)\) 条链。
证明：
不是我口胡，真的好证。对于每条路径 \((u,v)\)，我们把它拆分成 \((u,LCA)+(LCA,v)\)。然后现在就变成了一条直链，证明它最多会被划分成 \(\log\) 条重链。继续观察，我们发现：一条链被划分成的重链数=它经过的轻边数+1（因为轻边是划分重链的）。那我们只要考虑它经过多少轻边。
对于一个点 \(u\)，我们走一条轻边到 \(v\)，它的 \(size\) 至少会除以 \(2\)。反证：如果 \(size[v]>size[u]/2\)，那么显然 \(v\) 是重儿子，然而我们设 \((u,v)\) 是轻边，矛盾。所以这个结论成立。
那么一条链经过的轻边数就是 \(O(\log n)\) 的。两条加一起就是多一个常数，还是 \(\log\) 的。
然后就非常的 simple 了，只要序列上能做的问题，就能多一个 log 的时间放到树上。
当然，有些问题要注意方向。比如求路径上矩阵的乘积，这种记得多讨论亿点细节。
还有，在一个不是刻意构造的树上，一般来讲重链剖分常数是很小的。那就可以考虑重链剖分求 LCA。尽管代码比倍增长不少，但是它很快。
长链剖分
长链剖分用来不带 \(\log\) 的解决只跟深度有关的问题。
可以想象一下，它要是也是 \(\log\)，那还不如写重链剖分；它既然被发明出来，那它一定有它独一无二之处。它就是那种，在一个小问题上做到极致的算法。
不废话了，讲。
和重链剖分只有一个不同，就是它定义重儿子为最 "深" 的儿子。最“深”的儿子，形式化的，就是点 \(v\in son(u)\)，使得它的 \(d_{max}\) 最大，其中 \(d_{max}(u)=max\{dep[v] | v\in subtree(u)\}\)。
在讲到长链剖分的时候，一般管重链叫“长链”。
长链剖分基本性质：如果 \(x\) 是 \(y\) 的 \(k\) 级祖先，那么 \(x\) 所在的长链长度肯定 \(>=k\)。
这个性质yanQval直呼显然，因为如果 \(x\) 所在的长链长度 \(<k\)，那把它换成 \(<x,y>\) 这条链，就会更长，与长链的定义矛盾。
然后看它能干啥。
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\(O(1)\) 求 \(k\) 级祖先（预处理有 \(\log\)，查询没有）
首先要预处理倍增数组。
然后还要预处理一个东西：对于每条重链的链顶 \(t\)，假设链长度为 \(d\)，预处理出 \(t\) 往上往下 \(d\) 个位置，用
vector<>存。显然，所有链的长度加起来是 \(n\)。所以这一步的占用空间是 \(2n\)。不会炸。然后还要预处理出 \(\log_2\) 数组（也就是二进制最高位）
然后开始查询。
先找到最大的 \(x\) 使得 \(x<=k\) 并且 \(x\) 是二的幂（查 \(\log_2\) 数组）。用倍增数组跳上去。
设跳到了 \(x'\)。根据基本性质，\(x'\) 所在的长链长度肯定 \(>=x\)。由于 \(x\) 是最大的二次幂，所以 \(x>k-x\)。于是 \(x'\) 所在的长链长度肯定 \(>k-x\)。然后查表就行了。
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线性存储每个点跟深度有关的数组
做树上问题会经常遇到一个数组：\(f_{u,i}\) 表示 \(u\) 的子树中和 \(u\) 距离 \(i\) 的 xxxx。
然后考虑把所有的 \(f\) 存在一个内存池里，然后 \(f_u\) 可以直接继承其重儿子，对于轻儿子，就更新一下就好了。
关于如何继承：设 \(u\) 的重儿子是 \(s\)，那么 \(f_{u,i}=f_{s,i-1}\)。
如果 \(f_u\) 在内存池中的指针是 \(p\)，直接令 \(f_{s}=p+1\) 即可。
然后对于 \(u\) 的每个轻儿子 \(v\)，\(f_{u,i}+=f_{v,i-1}\)
显然这里 \(i\) 枚举的范围是：轻儿子所在的重链长度
所有重链长度和为 \(n\)。所以这样做复杂度是 \(O(n)\) 的。然而实际存储似乎需要四倍常数。不知道咋整的。
虚实剖分
它是一个动态钦点重边的剖分。
先不看下去，就看“动态”二字，想象一下它在干什么。然后就可以去看 LCT 一章了！
