树套树 笔记

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• 树状数组套线段树
  • 简介
  • 应用
• 线段树套平衡树
  • 简介
  • 应用

非常抱歉，我水平有限，暂时内容不多

树状数组套线段树

简介

线段树是动态开点的权值线段树。看起来其空间复杂度是 $O(n^2 \log)$ 的，然而实际上所有的线段树用的点数是 $T(n)=O(n)+2T(n/2)$ （一个线段树点数是 $O(n)$ 的，由于和树状数组套在一块，还需要来一个 $2T(n/2)$），也就是 $O(n\log n)$。然后时间又要多一个 $log$，就是 $O(n\log^2n)$

其主要功能是，求下标在区间 $[l,r]$ 且值域在 $[l',r']$ 中的数的个数

应用

1. 动态逆序对

   求出初始的逆序对，每次枚举一下前后，计算贡献即可

   具体的，将 $x$ 个位置从 $a$ 变成 $b$，先减去 $[1,x-1]$ 中值域在 $[a+1,M]$ 中的，减去 $[x+1,n]$ 中值域在 $[1,a-1]$ 中的，$b$ 那边同理（加上）。

   例题：

   CF785E Anton and Permutation 代码

   当然，逆序对也可以带权，例如：

   TJOI2017 不勤劳的图书管理员 代码

2. 动态区间第 $k$ 小

   二分一个 $x$，然后就变成了求区间 $[l,r]$ 中小于 $x$ 的个数了。这显然是 BIT 套 SGT 能做的。

线段树套平衡树

简介

线段树的每个位置上有一个平衡树（平衡树本身就是动态开点的）（存储它的根）

这样就可以把平衡树能干的事情放到区间上来干了，比如区间前驱后继，查询排名，啥的。甚至还支持（单点）修改。

应用

1. 区间平衡树（如上） 二逼平衡树