[JSOI2008]魔兽地图DotR 做题心得

目录

• [JSOI2008]魔兽地图DotR 做题心得
• 题解
  • 一些记号
  • 基本策略与dp设状态
  • dp转移
  • 总结
  • 代码

[JSOI2008]魔兽地图DotR 做题心得

马上要 JSOI2021 了，来看看以往的题

对于树形dp题，就是要想一下：基本策略是什么？然后根据基本策略，想一想dp要维护什么，怎么转移。再加上一些套路之类的东西，维护一下。像本题用到的就是树上背包。

还有就是，像树上花费多少价格购买甚么东西使得获利最大，长成这样的题，一般都是树上背包搞一搞。

题解

一些记号

$n,m$ 是物品数与总钱数

我们定义 $pow(u)$ 表示 $u$ 的力量值，$pri(u)$ 表示 $u$ 的花费，$lim(u)$ 表示 $u$ 最多能搞多少个。

对于非基础装备，$pri,lim$ 并不是直接给，但是我们可以在树上算一下：

$pri(u)$ 就是它所需要的每个物品的价格乘以合成需要多少个物品，即

$$\sum\limits_{v\in son(u)} need(v)*pri(v)$$

$lim(u)$ 就是每个需要的物品的 $lim/need$ 的 $min$，最后再和 $m/pri(u)$ （$m$ 是总钱数）取一下 $min$

然后还有一些 dp 数组，后面再说

基本策略与dp设状态

我们肯定是，先买一堆基础物品，然后不断合上去

对于中间的某些物品，我们用一部分增加力量值，并用剩下的一部分用来合成更高级的东西。注意我们并不一定全部用来合成，或者全部用来增加力量值。

然后贯穿全题的，还有一个重要的东西：钱。钱是一切的根源，但是我们的钱有限，最重点要规划的就是钱怎么用。

于是我们的dp就成型了：$f(u,j,k)$ 表示 dp 到树上的点 $u$，留 $j$ 个传上去用来合成，现在花了 $k$ 块钱，最大能获取的力量值。

dp转移

这个状态简单想一下大概是能转移的，考虑一下 $f(u,j,k)$ 怎么转移

我们枚举一共准备造 $J$ 个 （$J\ge j$），显然自己这里合成不需要花钱，所以钱（$k$ 块钱）全部花给儿子，假设这部分能获得的最大的力量值是 $P_{son}$。然后贡献的力量值就是 $P_{son}+(J-j)*pow(u)$

（后面 $J-j$ 是因为要留 $j$ 个上传）

现在的问题是 $P_{son}$ 怎么算。假设每个儿子的 $f$ 我们都能算出来，其实这就是一个合并背包的问题了，另开一个 dp 数组 $g$ 来搞定这个问题。

注："背包合并"是我瞎口胡的一个说法，说着玩的，不知道它是否是一个专业的说法。

设 $g[t][k]$ 表示，考虑前 $t$ 个儿子，花了 $k$ 块钱，最大力量值。假设第 $t$ 个儿子是 $v$，那么 $v$ 的义务是：上传 $j*need(v)$ 个来给 $u$ ，用来合成 $j$ 个 $u$。而它享有的权利是，获得 $k$ 块钱中的一部分。

于是我们枚举一下 $k$ 块钱中分多少给它，得转移：

$$g[t][k]=g[t-1][k']+f(v,j*need(v),k-k')$$

然后假设 $u$ 的儿子总数为 $T$，显然 $P_{son}$ 就是 $g[T][k]$

到最后求完 $f$ 之后，你会发现其实原树不连通，对于每个根都要求一遍，然后还要合并一下。

但是其实这里的转移和 $g$ 就几乎没区别了，除了没有责任义务的限制。抄着写，改改就行了。也是一个背包合并。

总结

有一个重要的思想是，我们固然要考虑当前怎么决策，但是也要为以后的决策做考虑：后面的决策需要用到哪些信息？要不要传上去？用什么方式传过去？这里联动一下 CF461E，也有类似的 “为后面的决策考虑” 的思想，只不过那个题传的信息过于简单了（

我们联合！

另一个重要的思想是，我们面对的问题和当前的局势非常的复杂，但是其实这个“局势”，只有少量的“特征值”，是我们关心的，而这就是我们的 $dp$ 状态。比如我们虽然面临着复杂的分钱问题，但我们关心的只有：当前在哪，有多少钱，给上面多少。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
    #define N 102
    #define M 2003
    #define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
    #define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
    #define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
    #define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
    #define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
    #define FK(x) MEM(x,0)
    #define Tra(i,u) for(int i=G.st(u),v=G.to(i);~i;i=G.nx(i),v=G.to(i))
    #define p_b push_back
    #define sz(a) ((int)a.size())
    #define all(a) a.begin(),a.end()
    #define iter(a,p) (a.begin()+p)
    #define PUT(a,n) F(i,1,n) printf("%d ",a[i]); puts("");
    int I() {char c=getchar(); int x=0; int f=1; while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar(); while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar(); return ((f==1)?x:-x);}
    template <typename T> void Rd(T& arg){arg=I();}
    template <typename T,typename...Types> void Rd(T& arg,Types&...args){arg=I(); Rd(args...);}
    void RA(int *p,int n) {F(i,1,n) *p=I(),++p;}
    class Graph
    {
    public:
        struct edge{int v,w,nx;} e[N<<1];
        int head[N]; int ecnt=-1;
        void clear() {MEM(e,-1); MEM(head,-1); ecnt=-1;}
        void add(int u,int v,int w)
        {
            e[++ecnt]=(edge){v,w,head[u]}; head[u]=ecnt;
        }
        void add2(int u,int v,int w)
        {
            add(u,v,w),add(v,u,w);
        }
        int& st(int u) {return head[u];}
        int& to(int i) {return e[i].v;}
        int& nx(int i) {return e[i].nx;}
        int& need(int i) {return e[i].w;}
    }G;
    int n,m;
    bool type[N]; // 低级:0; 高级:1
    int fa[N];
    int power[N],price[N],lim[N];
    void Input()
    {
        Rd(n,m); 
        G.clear(); MEM(fa,-1);
        F(i,1,n)
        {
            power[i]=I();
            char o[3]; scanf("%s",o);
            if (o[0]=='A')
            {
                type[i]=1;
                int tot=I();
                F(j,1,tot)
                {
                    int v,need; Rd(v,need);
                    G.add(i,v,need); fa[v]=i;
                }
            }
            else
            {
                type[i]=0;
                Rd(price[i],lim[i]);
            }
        }
    }
    int f[N][N][M],g[N][M];
    void DFS(int u)
    {
        if (!type[u])
        {
            lim[u]=min(lim[u],m/price[u]);
            F(J,0,lim[u]) F(j,0,J)
            {
                f[u][j][J*price[u]]=(J-j)*power[u];
            } 
            return;
        }
        lim[u]=1145141919;
        Tra(i,u)
        {
            DFS(v);
            price[u]+=price[v]*G.need(i);
            lim[u]=min(lim[u],lim[v]/G.need(i));
        }
        lim[u]=min(lim[u],m/price[u]);
        MEM(g,0xcf); g[0][0]=0;
        D(J,lim[u],0)
        {
            int t=0;
            Tra(i,u)
            {
                ++t;
                F(k,0,m) F(kk,0,k)
                {
                    g[t][k]=max(g[t][k],g[t-1][kk]+f[v][J*G.need(i)][k-kk]);
                }
            }
            F(j,0,J) F(k,0,m)
            {
                f[u][j][k]=max(f[u][j][k],g[t][k]+(J-j)*power[u]);
            }
        }
    }
    int h[N][M];
    int mx[M];
    void Sakuya()
    {
        MEM(f,0xcf); MEM(g,0xcf); MEM(h,0xcf);
        h[0][0]=0;
        int t=0;
        F(i,1,n) if (fa[i]==-1)
        {
            DFS(i); ++t;
            F(k,0,m) 
            {
                mx[k]=0;
                F(j,0,lim[i]) mx[k]=max(mx[k],f[i][j][k]);
            }
            F(k,0,m) F(kk,0,k)
            {
                h[t][k]=max(h[t][k],h[t-1][kk]+mx[k-kk]);
            }
        }
        int ans=0;
        F(i,0,m) ans=max(ans,h[t][i]);
        printf("%d\n",ans);
    }
    void IsMyWife()
    {
        Input();
        Sakuya();
    }
}
#undef int //long long
int main()
{
    Flandre_Scarlet::IsMyWife();
    getchar();
    return 0;
}