FFT,NTT 笔记

FFT

简介

FFT是干啥的？它是用来加速多项式乘法的。我们平时经常求多项式乘法，比如$(x+1)(x+3)=(x^2+4x+3)$。假设两个式子都是$n$项（不足的补0），那朴素的算法是$O(n^2)$的。

那么，我们能做到$O(nlogn)$做么？

前置知识

多项式点值表示

我们平常表达多项式，都是用系数表达的。当然，还有点值表达。用平面直角坐标系上的$n$个点，唯一确定一个（不超过）$n-1$次的多项式。它的一个特殊形式，就是两点确定一条直线。
点值转系数表达，你只需要解一个方程组就珂以了。（高斯消元，这样是$O(n^3)$的）

复数

复数的定义

这个很多人知道。定义$i=\sqrt{-1}$，即虚数单位。形如$a+bi$的数就是复数（complex）。
复数$a+bi$的辐角：从$(0,0)$到$(a,b)$的线段和$x$轴的夹角。这个夹角，是顺时针方向的夹角。取值范围是$[0,360]$。

复数的几何意义

在一维数轴上，我们把一个数乘以$-1$，相当于旋转了$180$。
那么，我们把一个数乘以$\sqrt{-1}$，相当于：乘两次是旋转$180$。所以，乘一次就是旋转$90$，也就是竖起来了。“竖起来”，这个概念很好表示，就是$y$坐标。
那么，$a+bi$就相当于平面直角坐标系上的点$(a,b)$。当然，你也珂以把它看成一个向量，从$(0,0)$到$(a,b)$。

复数的运算

复数的加法：$(a_1+b_1i)+(a_2+b_2i)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$。（这样也就包含了减法的情况）
复数的乘法：$(a_1+b_1i)\times (a_2+b_2i)$
我们把括号拆开，然后把$i^2$都变成$-1$（由$i$的定义）。易得，它等于：$(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i$

（n次）单位复根

满足$x^n=1$的所有复数解中，辐角最小且不为$0$的那个复数。记作$w_n$。不难发现，所有满足条件的$x$，用向量表示后，把单位圆$n$等分。
举个栗子，$n=6$的时候，解的分布是这样的：

其中，$\omega_n$就是图中标出来的，辐角大于0且最小的那个向量。

单位复根的性质

1. $w_{2n}^{2k}=w_{n}^{k}$（珂以把$w_n^k$看成是$360\deg\times \dfrac{k}{n}$，这条证毕）
2. $w_n^{k+n/2}=-w_n^k$。（这里$n/2$不取整，就是小数） （把$n/2$看成是转半圈，转半圈也就是$x,y$坐标都变负，这条也证毕）

正式开始！

上面不是说了点值表示么。对于两个用点值表示的多项式，只要把对应的点值乘起来即珂。
但是，我们要取$n$个点（DFT），每次$O(n)$求值，不是要$O(n^2)$了么？
而且，把点值转换成系数（插值，IDFT）的过程，不是要$O(n^3)$么？
因此，我们的主干思想是：利用单位复根的性质，巧妙的求值/插值，使得我们在$O(nlogn)$的时间内完成这些操作。
简图（远航之曲大佬的图）：

DFT

就是快速带入点值的过程。
我们的多项式：$A(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2...+a_{n-1}x^{n-1}$。其中$a_0,a_1...a_n$是系数（题目给定）。
接下来，我们设$n=2^k$。不足的地方用$0$补齐。
把它的系数按下表奇偶分组（指数还是顺序下来的）：
$A_0(x)=a_0x^0+a_2x^1+a_4x^2...+a_{n-2}x^{n/2-1}$
$A_1(x)=a_1x^0+a_3x^1+a_5x^2...+a_{n-1}x^{n/2-1}$
易得$A(x)=A_0(x^2)+xA_1(x^2)$。
那么，我们代入$x=w_n^0,w_n,w_n^2...w_{n}^{n-1}$。
考虑求前面$n/2$个，然后直接得到后面$n/2$个。令$k\in [0,n/2)$，则：
$A(w_n^k)=A_0(w_n^{2k})+w_n^kA_1(w_n^{2k})$
然后我们再代入$w_n^{k+n/2}=-w_n^k$：
$A(w_n^{k+n/2})=A_0(w_n^2k)-A_1(w_n^2k)$
我们发现，$w_n^{k+n/2}=-w_n^k$。然而$A_0,A_1$里面是$x^2$，所以取负不影响$A_0$和$A_1$的结果，只有$A_1$前面那一项有一个正负号的区别！
所以，我们求出前一半，就珂以$O(n)$求出后一半。
这样显然是$O(nlogn)$的。

DFT的实现优化

刚刚做完$O(nlogn)$的式子。但是，实现的时候，递归似乎太慢了，还不如暴力来的快。
我们观察一下，被奇偶分组后的下标。

（草 图）
转换一下二进制：
000 001 010 011 100 101 110 111
变成：
000 100 010 110 001 101 011 111
相当于每个二进制数位反过来了。
然后我们通过递推，推出最后的状态。然后不断合并，合并成答案。成功的把递归转化掉了。这样还是$O(nlogn)$，但是快了很多！

IDFT

IDFT，就是我们已知一个点值表示的多项式，而且代入的点值还是$w_n^0,w_n^1...w_n^{n-1}$。

我们设出系数$a_0,a_1..a_{n-1}$，列出方程：

$$\begin{cases} a_0(w_n^0)^0+a_1(w_n^0)^1...+a_{n-1}(w_n^0)^{n-1}=A(w_n^0)\\ a_0(w_n^1)^0+a_1(w_n^1)^1...+a_{n-1}(w_n^1)^{n-1}=A(w_n^1)\\ ...\\ a_0(w_n^{n-1})^0+a_1(w_n^{n-1})^1...+a_{n-1}(w_n^{n-1})^{n-1}=A(w_n^{n-1})\\ \end{cases}$$

用矩阵表达：

$$\begin{bmatrix} (w_n^0)^0 & (w_n^0)^1 & ... & (w_n^0)^{n-1}\\ (w_n^1)^0 & (w_n^1)^1 & ... & (w_n^1)^{n-1}\\ ...\\ (w_n^{n-1})^0 & (w_n^{n-1})^1 & ... & (w_n^{n-1})^{n-1} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} a_0\\ a_1\\ .\\ .\\ .\\ a_{n-1} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A(w_n^0)\\ A(w_n^1)\\ .\\ .\\ .\\ A(w_n^{n-1}) \end{bmatrix}$$

设这个式子是“珂朵莉IDFT①式”
然后设矩阵$D$，$D$中的每一项和左边那个矩阵

$$V=\begin{bmatrix} (w_n^0)^0 & (w_n^0)^1 & ... & (w_n^0)^{n-1}\\ (w_n^1)^0 & (w_n^1)^1 & ... & (w_n^1)^{n-1}\\ ...\\ (w_n^{n-1})^0 & (w_n^{n-1})^1 & ... & (w_n^{n-1})^{n-1} \end{bmatrix}$$

中对应位置上的项，都是倒数。
易证，$D\times V=n\times I_n$，其中$I_n$是$n$阶单位矩阵。
那也就是，$D=\dfrac{1}{n}V^{-1}$
把“珂朵莉IDFT①式”中，左右两边同时乘一个$D=\dfrac{1}{n}V^{-1}$。
易得：

$$\begin{bmatrix} a_0\\ a_1\\ .\\ .\\ .\\ a_{n-1} \end{bmatrix}= \dfrac{1}{n}D \begin{bmatrix} A(w_n^0)\\ A(w_n^1)\\ .\\ .\\ .\\ A(w_n^{n-1}) \end{bmatrix}$$

那么我们把矩阵$V$中，所有项取倒数，然后做一遍$DFT$即珂。最后记得除一个$n$。

模板题的代码

洛谷 3803

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
    #define N 3000006 //空间的理论下限
    //2097153=2^21+1
    #define real double
    #define Pi (3.14159265358979323846264338)
    #define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
    #define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
    #define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
    #define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
    #define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
    #define FK(x) MEM(x,0)
    #define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),__v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),__v=G.To(i))
    #define p_b push_back
    #define sz(a) ((int)a.size())
    #define iter(a,p) (a.begin()+p)
    void R1(int &x)
    {
        x=0;char c=getchar();int f=1;
        while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
        while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
        x=(f==1)?x:-x;
    }
    void Rd(int cnt,...)
    {
        va_list args;
        va_start(args,cnt);
        F(i,1,cnt) 
        {
            int* x=va_arg(args,int*);R1(*x);
        }
        va_end(args);
    }
    struct cp{real R,I;}; //复数类
    //R: 实部，a+bi中的a
    //I：虚部，a+bi中的b
    cp operator+(cp a,cp b){return (cp){a.R+b.R,a.I+b.I};}
    cp operator-(cp a,cp b){return (cp){a.R-b.R,a.I-b.I};}
    cp operator*(cp a,cp b){return (cp){a.R*b.R-a.I*b.I,a.R*b.I+a.I*b.R};}

    int n,m;
    cp a[N],b[N];
    void Input()
    {
        Rd(2,&n,&m);
        F(i,0,n) {int x;R1(x);a[i].R=x;}
        F(i,0,m) {int x;R1(x);b[i].R=x;}
    }

    int r[N],lim;
    void FFT(cp A[],int type)
    //type=1: DFT
    //type=-1: IDFT
    {
        F(i,0,lim) if (i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]);
        for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1) //合并区间的长度
        //每次合并两个长度为mid的区间
        {
            cp Wn=(cp){cos(Pi/mid),type*sin(Pi/mid)};
            // 单位圆上的坐标 (x,y) 满足 x^2+y^2=1
            // 那么 x+yi 的逆就是 x-yi
            // 很容易验证：(x+yi)(x-yi)=x^2-(yi)^2=x^2+y^2=1
            for(int j=0;j<lim;j+=(mid<<1))
            {
                cp w=(cp){1,0}; //Wn^0
                for(int k=0;k<mid;++k,w=w*Wn) //w:不断代入Wn^k
                {
                    cp X=A[j+k],Y=w*A[j+mid+k];
                    //DFT的合并式子
                    A[j+k]=X+Y;
                    A[j+mid+k]=X-Y;
                }
            }
        }
    }
    void Soviet()
    {
        int l=0;lim=1;
        while(lim<=n+m) lim<<=1,++l;
        F(i,0,lim) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
        FFT(a,1);FFT(b,1); //两个DFT
        F(i,0,lim) a[i]=a[i]*b[i]; //点值乘法
        FFT(a,-1); //IDFT
        F(i,0,n+m) printf("%d ",(int)(a[i].R/lim+0.5)); //还要乘一个1/lim
        //+0.5是取四舍五入
        putchar('\n');
    }

    #define Flan void
    Flan IsMyWife()
    {
        Input();
        Soviet();
    }
}
int main(){
    Flandre_Scarlet::IsMyWife();
    getchar();getchar();
    return 0;
}

NTT

NTT本质上就是把$FFT$中的单位复根换成一个有相同性质的整数：原根。
只要记住$998244353$的原根是$3$即珂。
然后和$FFT$同样的方法去写就珂以了，也是DFT+IDFT。
就是把里面单位复根换成原根，一样写即可。

代码：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
    #define N 2666666
    #define mod 998244353
    #define Gi  332748118 //3^(-1) mod 998244353
    #define int long long 
    #define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
    #define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
    #define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
    #define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
    #define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
    #define FK(x) MEM(x,0)
    #define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),__v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),__v=G.To(i))
    #define p_b push_back
    #define sz(a) ((int)a.size())
    #define iter(a,p) (a.begin()+p)
    void R1(int &x)
    {
        x=0;char c=getchar();int f=1;
        while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
        while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
        x=(f==1)?x:-x;
    }
    void Rd(int cnt,...)
    {
        va_list args;
        va_start(args,cnt);
        F(i,1,cnt) 
        {
            int* x=va_arg(args,int*);R1(*x);
        }
        va_end(args);
    }

    int n,m;
    int a[N],b[N];
    void Input()
    {
        Rd(2,&n,&m);
        F(i,0,n) R1(a[i]);
        F(i,0,m) R1(b[i]);
    }
    int qpow_p(int a,int b,int m) //正数的快速幂
    {
        int r=1;
        while(b)
        {
            if (b&1) r=r*a%m;
            a=a*a%m,b>>=1;
        }
        return r;
    }
    int qpow(int a,int b,int m) //支持负指数的快速幂（就是先求快速幂，然后求一个逆元）
    {
        if (b==0) return 1;
        else if (b<0) return qpow_p(qpow_p(a,-b,m),m-2,m);
        else return qpow_p(a,b,m);
    }
    int r[N],lim;
    void NTT(int A[N],int type)
    {
        F(i,0,lim) if (i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]);
        for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1)
        {
            int Wn=qpow(qpow(3,type,mod),(mod-1)/(mid<<1),mod);
            for(int j=0;j<lim;j+=(mid<<1))
            {
                int w=1;
                for(int k=0;k<mid;k++,w=(w*Wn)%mod)
                {
                    int X=A[j+k],Y=w*A[j+mid+k]%mod;
                    A[j+k]=(X+Y)%mod;
                    A[j+mid+k]=(X-Y+mod)%mod;
                }
            }
        }
    }
    void Soviet()
    {
        lim=1ll;int l=0;
        while(lim<=n+m) lim<<=1ll,++l;
        F(i,0,lim) r[i]=(r[i>>1ll]>>1ll)|((i&1ll)<<(l-1));
        NTT(a,1);NTT(b,1);
        F(i,0,lim) a[i]=(a[i]*b[i])%mod;
        NTT(a,-1);
        int iv=qpow(lim,-1,mod);
        F(i,0,n+m) printf("%lld ",a[i]*iv%mod); //*iv相当于除以一个lim
        putchar('\n');
    }

    #define Flan void
    Flan IsMyWife()
    {
        Input();
        Soviet();
    }
    #undef int //long long 
}
int main(){
    Flandre_Scarlet::IsMyWife();
    getchar();getchar();
    return 0;
}

NTT的好处和坏处

好处： 和FFT相比，把浮点数换成整数。常数很小，而且避免了精度问题
坏处： 不需要取模的时候，模数需要足够大 —— 这会导致一些阴间问题

坏处2：模数没有原根的时候非常不好办