[JSOI2019]节日庆典 做题心得

[JSOI2019]节日庆典 做题心得

一个性质有趣的字符串题

这要是在考场上我肯定做不出来吧

一开始还以为要 SAM 什么的暴力搞，没想到只用到了 $Z$ 函数 —— 也是我生疏了罢

（学了啥忘了啥，这可怎么去wc啊啊啊

思路

考虑维护候选集合 $S$，表示这个位置 可能 是最优位置。

假设我们可以知道 $S$，拿 $Z$ 函数求一下 $LCP$ 就可以知道是不是最优的了。

大胆猜测一个性质，要么可以快速的找 $S$ 中最小的位置，要么 $S$ 的大小不会很大，可以暴力找。

第一个思路不太好搞，那看来就选第二个思路吧

假设现在考虑前 $k$ 位

首先可以来一个优化：如果还没循环，就比出来了胜负，那么大的那个一定不会是最优解 —— 并且随着 $k$ 的增加，显然不会翻身成更优的

那现在对于 $i,j\in S,i<j$，一定有 $LCP(s[i:k],s[j:k])= k-j+1$。

考虑两个 $i,j$ ，如果 $[i,i+LCP-1]$ 和 $[j,j+LCP-1]$ 不重合，看来没什么性质

如果重合，似乎有些有趣的性质，先放结论：

如果重合，即 $k-j+1>j-i$，则 $j$ 一定不会是最优的

我相信这个图还挺清楚的

红色是 $i,j$ 的 $LCP$。然后设 $i$ 到 $j$ 前面是 $A=s[i:j-1]$，然后红色减去 $A$ 之后剩下的是 $B=s[j:i+LCP-1]$，是从 $j$ 开始的。由于两个红色相等，所以 $B$ 是红色的前缀，对应到后面，它也是红色的后缀（即它是红色的 border）

$p$ 是 $j$ 往后数一个 $A$ 之后的开始位置

设 $i$ 前面的是 $C$。$i$ 开始的循环串就是 $AABC$，$j,p$ 同理

然后发现 $BC$ 作为一个整体出现，把它看成 $D$。然后就清楚多了：

如果 $D<A$，那么 $p$ 开始是最小的；

如果 $A<D$，那么 $i$ 开始是最小的；

如果 $A=D$，那么三个一样大；

总之，忽略 $j$ ，对最大值没有影响

那么 $S$ 集合中，每往前数一个数，它到上一个的距离，都比上一个到 $k$ 的距离大。和启发式合并类似的，有一个基本事实：

一个数加上比它大的数，至少翻一倍

那 $S$ 集合中数到 $k$ 的距离，每次至少翻一倍，所以 $S$ 的大小是 $\log$ 的。

每次新加入元素的时候维护一下即可，然后分段考虑一下，求最小的那个开始位置。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
	#define N 10000007
	#define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
	#define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
	#define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
	#define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
	#define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
	#define FK(x) MEM(x,0)
	#define Tra(i,u) for(int i=G.st(u),v=G.to(i);~i;i=G.nx(i),v=G.to(i))
	#define p_b push_back
	#define sz(a) ((int)a.size())
	#define all(a) a.begin(),a.end()
	#define iter(a,p) (a.begin()+p)

	int n;
	char s[N];
    void Input()
    {
    	scanf("%s",s+1); 
    	n=strlen(s+1);
    }
	int z[N];
	void Z_Function()
	{
		z[1]=n; F(i,2,n) z[i]=0;
		int l=0,r=0;
		F(i,2,n) 
		{
			if (i<=r) z[i]=min(z[i-l+1],r-i+1);
			while(i+z[i]<=n and s[i+z[i]]==s[z[i]+1]) ++z[i];
			if (i+z[i]-1>=r) l=i,r=i+z[i]-1;
		}
	}
	int c[N],cp=0;
	int stk[N],top=0;
	void fuckoff(int k)
	{
		while(top) stk[top--]=0;
		F(i,1,cp)
		{
			int x=c[i];
			while(top and s[stk[top]+k-x]>s[k]) 
			{
				--top;
			}
			if (top and s[stk[top]+k-x]<s[k]) continue;
			stk[++top]=x; 
		}
		F(i,1,cp) c[i]=0; cp=top; F(i,1,top) c[i]=stk[i];

		while(top) stk[top--]=0;
		D(i,cp,1)
		{
			while(top and k-stk[top]+1>stk[top]-c[i]) --top;
			stk[++top]=c[i];
		}
		F(i,1,cp) c[i]=0; cp=top; F(i,1,top) c[i]=stk[top-i+1];
	}
	int getmin(int k)
	{
		int ansp=c[1];
		F(i,2,cp)
		{
			int x=c[i];
			// printf("x=%d cur=%d\n",x,ansp);
			int LCP1=k-x+1;
			int LCP2=min(z[ansp+LCP1],k-(ansp+LCP1)+1);
			// printf(" LCP2=%d\n",LCP2);
			if (LCP2<k-(ansp+LCP1)+1)
			{
				int p1=ansp+LCP1+LCP2;
				int p2=LCP2+1;
				// printf(" case2 p1=%d p2=%d\n",p1,p2);
				if (p2>k) continue;
				if (s[p1]>s[p2]) 
				{
					// puts(" better");
					ansp=x;
				}
			}
			else
			{
				int LCP3=min(z[LCP2+1],k-LCP2);
				int p1=LCP3+1;
				int p2=LCP2+LCP3+1;
				// printf(" LCP3=%d\n",LCP3);
				// printf(" case3 p1=%d p2=%d\n",p1,p2);
				if (p2>k) continue;
				if (s[p1]>s[p2]) 
				{
					// puts(" better");
					ansp=x;
				}
			}
		}
		return ansp;
	}
    void Sakuya()
    {
    	Z_Function();
    	F(i,1,n)
    	{
    		c[++cp]=i;
    		fuckoff(i);
    		printf("%d ",getmin(i));
    	}
    	puts("");
    }
    void IsMyWife()
    {
        Input();
        Sakuya();
    }
}
#undef int //long long
int main()
{
    Flandre_Scarlet::IsMyWife();
    getchar();
    return 0;
}