系列trick - bitmask

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• 系列trick - bitmask
  • 拆位
  • 位运算优化（点少的）图操作
  • 位筛

系列trick - bitmask

拆位

主体思想：位之间不影响，把每一位拆开来考虑贡献，转化成非常容易考虑的 0/1。

首先要看出来位之间不影响，当题目涉及二进制运算时应当首先注意的就是这一点。

例题有一堆，这里拿最近做的一个举例子

CF1327F：这题给你若干个限制 $(l,r,x)$，表示 $[l,r]$ 的区间AND和必须是 $x$；求满足条件长度为 $n$，并且每个数都 $<2^k$ 的序列数。

显然位独立，然后相当于限制区间都是 $1$ 或者区间至少有一个是 $0$。随便 dp 一下就可以计数了。然后把每一位的答案乘起来，就是最后的答案了。

代码

例2：整数 求逆序对的神秘方法

从高到低来考虑，如果当前的位就能比较出结果（相当于一个01序列求逆序对, 开个cnt记一下即可），就计入答案；当前位相同的用分治的技巧分成两部分解决。复杂度是值域的 $\log$，乘以 $n$ 。

它看起来很傻逼，但是由于它拆位，支持更多操作（详见分治那篇里的题）

位运算优化（点少的）图操作

点少：指 $2^n\times ...$ 可以通过。

主体思想：用位运算加速图的操作，以优化掉复杂度 卡常

讲道理，其实纸面复杂度没有被优化，只是把一些耗时间的操作交给 cpu 来搞了，比如把一个 $O(n)$ 的操作用位运算做掉，变成 “$O(1)$”

有啥用呢？$n=24,25$ 的时候，$2^n$ 的复杂度多一个 $n$ 都是过不去的。

比如，可以把每个点的出边压成一个集合，然后每次把当前的状态跟它或以下，就可以实现搜索中的 “扩展”。

例1 判断强连通，$n\le 24$ ：这个题 的 $60$ 分，$O(2^n n)$ 的做法。

例2 例1的100分 （这个还涉及到筛法，见下一个trick）

位筛

主体思想：筛法，定义域为二进制压缩的集合

这类问题时间复杂度通常会有保证：每个集合只会被筛一次，复杂度是 $O(2^n)$

详见这篇文章