cdq分治 笔记

算法讲解

这个算法用于解决三维偏序问题。

三维偏序：给定 $n$ 个三元组： $(a_i,b_i,c_i)$，求同时满足满足 $a_i\le a_j,b_i\le b_j,c_i\le c_j$ 的 $(i,j)$ 的数量。

那这该咋求呢⊙(・◇・)？

先把维度降下来，二维偏序，会不会做？就是求多少个 $(i,j)$ 满足 $a_i\le a_j,b_i\le b_j$。

显然，先按照 $a$ 排一下序。然后就变成了 $i<j,b_i\le b_j$ 的问题了。可以用树状数组做。最典型的案例就是逆序对问题，这个都写熟练了哈(*╹▽╹*)

三维偏序的问题，也是先按 $a$ 排一下序。然后接下来的问题考虑分治（这样的分治过程被我们称为“cdq分治”）

假设我们要求 $[l,r]$ 中的答案。已经求好了 $[l,mid],[mid+1,r]$ 中的答案，现在只需要考虑跨区的答案了。

那么我们可以把 $[l,mid]$ 和 $[mid+1,r]$ 内部都按照 $b$ 排序。因为我们只要考虑跨区的答案，那么我们把两边分别都随便排序，对跨区的时候 $a$ 的大小关系没有影响。然后我们在 $[mid+1,r]$ 中枚举一个元素 $j$，找到在 $[l,mid]$ 中有多少个 $i$ 满足 $b_i\le b_j$，然后这个 $i$ 显然是递增的。然后我们一边单调的维护这个 $i$ ，一边用树状数组维护 $c_i\le c_j$ 的数量即可。

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洛谷3810 陌上花开

代码