杂文： 日剧《轮到你了》第7集中的组合数学问题

不务正业系列

剧情是这样的，13个人，每人用一张纸写下了自己（如果有机会）最想杀死的那个人，然后放在一个盲盒里每人随机抽取一张。原本只是想玩个游戏，结果因为某种原因，成了真实事件——纸上的人一个接一个的被杀了。

第七集的末尾，女主与擅长数学的邻居讨论起这个问题，她们开始计算，每个人都恰好没抽到自己的概率。

实际上就是错排数

剧照

图中小姐姐的做法

容斥，枚举 \(k\)，钦定至少 \(k\) 个人没抽到自己写的，剩下的随便排，此时的方案数是 \(A_{n}^{n-k}=\dfrac{n!}{k!}\)

由于算概率，\(n!\) 就除掉了，剩下一个 \(k!\) 在分母上。用 \((-1)^k\) 容斥掉这个东西。

为什么 \(k\) 从 \(2\) 开始呢？因为 \(1\) 个人没抽到自己写的，压根不可能（但是这个式子不会在 \(k=1\) 时取到 \(0\)）

剧中是没看到计算器的，我不知道这个小姐姐怎么算出来的，这就是人脑计算机吗

常规做法

也是我看到这玩意的第一反应：错排数公式 \(f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2))\)，然后答案是 \(f(13)/(13!)\)

总结

还是太蒻了qaq，我居然是第一次发现错排可以用容斥做