杂文： 日剧《轮到你了》第7集中的组合数学问题

不务正业系列

剧情是这样的，13个人，每人用一张纸写下了自己（如果有机会）最想杀死的那个人，然后放在一个盲盒里每人随机抽取一张。原本只是想玩个游戏，结果因为某种原因，成了真实事件——纸上的人一个接一个的被杀了。

第七集的末尾，女主与擅长数学的邻居讨论起这个问题，她们开始计算，每个人都恰好没抽到自己的概率。

实际上就是错排数

剧照

图中小姐姐的做法

容斥，枚举 $k$，钦定至少 $k$ 个人没抽到自己写的，剩下的随便排，此时的方案数是 $A_{n}^{n-k}=\dfrac{n!}{k!}$

由于算概率，$n!$ 就除掉了，剩下一个 $k!$ 在分母上。用 $(-1)^k$ 容斥掉这个东西。

为什么 $k$ 从 $2$ 开始呢？因为 $1$ 个人没抽到自己写的，压根不可能（但是这个式子不会在 $k=1$ 时取到 $0$）

剧中是没看到计算器的，我不知道这个小姐姐怎么算出来的，这就是人脑计算机吗

常规做法

也是我看到这玩意的第一反应：错排数公式 $f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2))$，然后答案是 $f(13)/(13!)$

总结

还是太蒻了qaq，我居然是第一次发现错排可以用容斥做