你可见过一种基于状压的二进制筛法？

这个 trick 的妙，妙到让我愿意为它专门写一篇文章出来。（同时会写在 trick 里面）

基于状压，换成数学的语言，函数的值域是一个集合。比如说叫它 $f(S)$

然后这个 $f$ 满足一些递推的性质：当我们知道 $f(S)$ 的值的时候，可以顺便知道 $f(S')$ 的值，并且这样的 $S'$ 数量之和不会很多。

可以类比一下整数的筛法。在整数的筛法中，（多数是）我们可以由 $f(x)$ 知道 $f(xk)$ 的值（其中 $k>1$ 且 $k$ 为整数），并且这样的 $xk$ 的数量很少，是调和级数。

例题 10.16 B.竞赛图

给你一个竞赛图，求它有多少个诱导子图是强连通的。

解

我们知道竞赛图强连通分量缩点之后一定是一条链。那么，如果它不是一个强连通的图，那肯定可以划分成两部分 $A,B$，使得 所有 边都是从 $A$ 到 $B$ 的。

即，如果存在 $A$，$B$，使得 $A$ 到 $B$ 的所有边都是出边，那 $A|B$ 就没了。

设 $f(S)$ 表示 $S$ 是否“不是一个强连通分量” （类似质数筛，这么定义是方便初始化）

定义 “筛一遍” $S$：我们找到 $S$ 中所有点的 出边的交，设为 $O$（可以预处理）；对于 $O$ 的任意子集 $T$，$S|T$ 一定不是强连通图，令 $f(S|T)=1$

什么样的 $S$ 需要像这样“筛一遍”呢？只有 $f(S)=0$ 的 $S$ 需要来枚举一下这个 $T$，否则 一定被更小的集合筛过了

就像做质数筛的时候只要用质数去更新筛即可。比如说，我们筛掉 $6$ 的倍数的时候，在筛 $2,3$ 的时候已经包含了这个操作，没必要再做一遍

关于复杂度： 我们发现一个集合 只会被筛到一次。那么我们就按照上面说的模拟，直接筛，时间复杂度就是 $O(2^n)$ 的。

代码