dp - 斜率优化笔记

（原来的题解没得了，只好重写一份）

斜率优化一般是，$dp$ 是枚举一个 $i$，然后前面找一个 $j$，式子中有些和 $j$ 有关，有些和 $i$ 有关，有些和俩都有关。

过程中，我们维护一个单调队列，它们可能作为最优的转移位置。其中队首是最优的，其它的是 可能 成为最优的（现在不是，可能以后）

核心步骤：把每个决策转化成平面直角坐标系上的点，然后从几何的角度考虑哪些点可能是最优的，哪些不可能。

我们发现这个性质好像很妙。所以说，不是所有题都可以斜率优化的。

这些说的肯定非常迷惑，看个实际的

示例

最经典的入门题 HNOI2008玩具装箱

转移方程为 $f_i=min(f_j+(s_i-s_j+i-j-L-1)^2)$，非常 simple

我们令和 $i$ 有关的为 $a_i=s_i+i$，和 $j$ 有关的为 $b_j=s_j+j+L+1$

那 $f_i=min(f_j+(a_i-b_j)^2)$

拆开 $f_i=min(f_j+a_i^2-2a_ib_j+b_j^2)$

假设 $j$ 是最优的那个转移，那

$f_i=f_j+a_i^2-2a_ib_j+b_j^2$

这个式子里面，注意到 $2a_ib_j$ 这一项是同时与俩有关的。

主体思想

我们把和 $i$ 有关的那个 $2a_i$ 看成斜率，和 $j$ 有关的 $b_j$ 看成 $x$。那 $y$ 肯定也要和 $j$ 有关，移到右边。我们的主体思想是把 $f_i$ 变成一个截距。所以把 $f_i$ 和一些只和 $i$ 有关的东西放到左边。

（这一步就体现出“斜率”了）

变成 $2a_ib_j+f_i-a_i^2=b_j^2+f_j$。其中 $x=b_j$，$y=b_j^2+f_j$。

令 $P_j$ 作为第 $j$ 个决策点，坐标为 $(b_j,b_j^2+f_j)$。

那现在问题转化成了：找到一个 $j<i$，使得过点 $P_j$ 的斜率为 $2a_i$（定值）的直线的截距加上 $a_i^2$（定值）最小。

手画几张图可以得出以下结论：

• 如果队首的斜率 $<2a_i$，那这一次转移队首就比队首的下一个要劣（画图发现）；而且 $a_i$ 是单增的，那以后肯定都劣，直接弹队首
• 斜率应该是单调递增的 （这个要手画了）。所以如果新来的和原队尾组成的斜率，小于原队尾和原队尾上一个的斜率，那这个队尾就废了

然后就维护一个单调队列就完事了。复杂度是 $O(n)$ 的，$log$ 都不带。

代码