Super Fenwick 学习笔记

合集 - 算法(1)

1.Super Fenwick 学习笔记01-12

她是谁(What)？

超级树状数组（Super Fenwick 或 Super BIT）是一种维护线性数据，支持区间修改，区间查询的数据结构，其中要求运算符满足结合律，可逆性。（例如异或，加法，乘法或非奇异的矩阵乘法）

正如其名字，超级树状数组的本质是树状数组，因此，她也继承了树状数组的所有优点：

码量小
常数小
空间小

尽管她能做的线段树都能做，但上面三个条件是即使 zkw 线段树也无法比拟的。

她的是怎么实现的(How)？

为了方便，我们记维护的线性数据为 $a$ ，其下标从 $1$ 至 $n$ 。

同时记将下标在 $[l, r]$ 内的数加上 $v$ 的操作称作 $u p d a t e (l, r, v)$ 。

询问下标在 $[l, r]$ 内的数的和的操作为 $q u e r y (l, r)$ 。

首先由于操作的可逆性，我们知道：

q u e r y (l, r) = q u e r y (1, r) - q u e r y (1, l - 1)

由于要进行区间修改操作，所以只能对 $a$ 进行差分，得到差分数组 $d_{i} = a_{i} - a_{i - 1}$

于是我们知道：

q u e r y (1, x) = \sum_{i = 1}^{x} \sum_{j = 1}^{i} d_{j}

交换求和符号得到：

q u e r y (1, x) = \sum_{j = 1}^{x} \sum_{i = j}^{x} d_{j} = \sum_{j = 1}^{x} d_{j} \sum_{i = j}^{x} 1 = \sum_{j = 1}^{x} (x - j + 1) d_{j} = (x + 1) \sum_{j = 1}^{x} d_{j} - \sum_{j = 1}^{x} j d_{j}

我们惊奇地发现她可以使用两个树状数组进行维护，一个维护 $d_{i}$ ，另一个维护 $i d_{i}$ 。于是我们便可以在 $Θ (\log n)$ 的时间复杂度内完成一次查询。

再来看修改，我们只需要更改在对应位置的两个树状数组即可。

她的代码(Code)？

long long d1[MAXN];
long long d2[MAXN];
int lowbit(int x) {
    return x&-x;
}
void add(long long *arr, int pos, long long x){
    while (pos <= n)
        arr[pos] += x,
    	pos += lowbit(pos);
}
void update(int l, int r, long long x){
    add(d1, l, x);
    add(d1, r + 1, -x);
    add(d2, l, x * (l - 1));
    add(d2, r + 1, -x * r);
}
long long getsum(long long *arr, int pos){
    long long sum = 0;
    while (pos)
        sum += arr[pos],
    	pos -= lowbit(pos);
    return sum;
}
long long query(int x,int y){
    return y * getsum(d1, y) - (x - 1) * getsum(d1, x - 1) - (getsum(d2, y) - getsum(d2, x - 1));
}