WQS 二分 & 凸优化dp

WQS 二分

决策单调性，四边形不等式

$O(nk\log n)\to O(n\log n)$

想法

转移转成最短路。

最短路，转移代价 $\to$ 边权。

恰好选 k 条边的最短路为 $f$。

$f$ 必须有凸性。

加上额外代价$\lambda$:

• $\lambda \to inf$， 选 1 边

• $\lambda \to -inf$， 选 n 边

• 二分

最小化 $\lambda k+f_k$。

满足四边形不等式一定凸。

$$2f_{k+1}\le f_k+f_{k+2}$$

通常跟决策单调性一起用。

$$w(i,j)\to w(i,j)+\lambda$$

对于满足四边形不等式的序列DP可做到 $O(n\log n\log W)$。

对于有的二维限制就 wqs二分套 wqs 二分。

题目

[IOI2016] aliens

如果一个点在对角线下面，翻上去。

如果一个点右上角有点，就直接把这个点删掉。

对剩下的点作 DP

$j+1\to i$， 减去重叠部分。

因为拍的越多越优，所以直接拍 $k$ 张。

tree

板子。

Rikka with K-Match

因为可以用费用流，所以是凸性。

注意wqs二分上限 $n\ast m\ast W$。

有可能当 $k\to k+1$ 时，可能 $0\to {\displaystyle \frac{nmW}{2}}$

林克卡特树 或 林克卡特树

等价于搞 k+1 个连通块然后直径加起来。

直接树形DP。

凸性出题人告诉了。

凸性优化DP

例题

sequence

令 $a_i:=a_i-i$，$b_i:=b_i-i$

$d{p}_{i,j}$ 考虑到$i$, $b_i=j$

$$d{p}_{i,j}=min\left\{d{p}_{i-1,k}\right\}+|j-a_i|$$

1. $d{p}_{i,\ast }$, 凸
2. 维护函数拐点

习题

• A New Begining

• Sequence Transformation

• Make a Permutation!

• 【UER #8】雪灾与外卖