简单了解树形DP
今天在B站看了一个树形DP教学视频有所收获,做一个小小的总结
AV号和链接在这:av12194537
那么先介绍一下树形DP
树形DP就是在树这个特殊的数据结构上进行的DP。有两种方向:自顶向下和自底向上。
树形DP运用了DFS的方式。
一般来说都是用自底向上的方向,也就是从叶子节点到根节点。如果采用自顶向下的方式,那么要先进行一遍自顶向下的DFS(预处理),再由根节点到叶子结点获取想要的答案。
用一个经典入门题讲解一下:没有上司的舞会
题目大意就是给一棵树每个节点给定一个价值,子节点和父节点不能同时选取,求能够选取的最大价值。
我们用dp[u][0]表示不选取u节点u子树(包括u在内)能获得的最大价值,dp[u][1]表示选取u节点u子树(包括u在内)能获得的最大价值。
w[u]表示单个u节点的价值。
我们从根节点开始进行DFS遍历,遍历完整棵树以后回溯的同时就开始自底向上获取答案。对于任意一个节点u,要得到它的包括自身的子树的价值的最大值,这个最大值需要记录两个,一个是选了自身,一个是没选自身,也就是dp[u][1]和dp[u][0]。如果没有选自身,那么每个子节点都可选可不选,u的最大值就加上每个子节点选和不选的两个最大值中较大的那个,等于Σ(max(dp[vi][0], dp[vi][1]))(vi是u的第i个字节点)。状态转移方程就是 dp[u][0] += max(dp[v][0], dp[v][1]);而如果选了u节点自身,那么它所有的子节点都不能选,最大值就等于Σ(dp[v][0]),转态转移方程就是 dp[u][1] += dp[v][0];
最后只要比较根节点的两个最大值,大的那个就是想要的结果。
上代码:
void Dfs(int u) { dp[u][0] = 0; dp[u][1] = w[u]; for(int v:e[u]) //用v代表根节点 { Dfs(v);//因为要从叶子节点自底向上,所以先遍历一遍所有节点 dp[u][0] += max(dp[v][0], dp[v][1]); //不选u节点的话子节点v可选可不选 dp[u][1] += dp[v][0]; //选u节点的话字节点v只能不选 } } int main() { ... Dfs(root);//从根节点开始DFS; maxvalue = max(dp[root][0], dp[root][1]); //最后比较选根节点和不选根节点哪个大 ... return 0; }