单源最短路径_贪心算法

问题描述

给定带权有向图G =(V,E)，其中每条边的权是非负实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到所有其它各顶点的最短路长度。这里路的长度是指路上各边权之和。

策略与数据结构

    其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。

 

相关解释

• 观测域：假设起点为v点，观测域便为v点的四周，即v的所有邻接点；
• 点集 V：图中所有点的集合；
• 点集 S：已经找到最短路径的终点集合；
• 数组 D：存储观测域内能观测到的最短路径，算上起点一共 n 个数值。比如 D[k] 对应在观测域中能观测到的，到顶点 k 的最短路径；
• 邻接矩阵 a：存储着有权图中的边的信息，是一个二维数组。比如 a[1][2] = 5 表示在有权图中，点 1 和点 2 之间有边，且边的权值为 5。如果两点之间没边，则用负数或则无穷大(∞)表示。
• 单源最短路径算法，又称迪杰斯特拉算法。

  Dijkstra算法特点：以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止，是一种广度优先搜索方法。

  Dijkstra算法原理：最优子路径存在(贪心算法的最优子结构性质)。假设S→F存在一条最短路径SF，且该路径经过点A，那么SA子路径一定是S→A的最短路径。

算法步骤

• 第一步：初始化点集 S，将起点 v 收入 S 中。初始化数组 D：D[k] = a[v][k]；
• 第二步：找寻次短路径。即查找数组 D，找出观测域中最短路径(v, j)：D[j] = min(D[k] | k 不属于 S)。将点 j 加入点集 S 中；
• 第三步：将 j 的邻接点并入观测域，即用 j 的邻接点更新数组 D；
• 第四步：不断重复第二步和第三步，直到节点全部压入 S 中为止。

注：贪心算法的思想主要就体现在第二步和第三步之中。

复杂性

最大嵌套用到双层for循环，最内层代码块可看做O(1),所以该算法的时间复杂度是O（n^2）

代码

package 贪心算法;

import java.util.Scanner;

public class 单源最短路径 {
    public static void main(String[] args)
    {
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        
        System.out.print("请输入图的顶点和边的个数(格式：顶点个数 边个数)：");
        int n = input.nextInt(); //顶点的个数
        int m = input.nextInt(); //边的个数
        
        System.out.println();
        
        int[][] a = new int[n + 1][n + 1];
        //初始化邻接矩阵
        for(int i = 0; i < a.length; i++)
        {
            for(int j = 0; j < a.length; j++)
            {
                a[i][j] = -1; //初始化没有边
            }
        }
        
        System.out.println("请输入图的路径长度(格式：起点 终点 长度)：");
        //总共m条边
        for(int i = 0; i < m; i++)
        {
            //起点，范围1到n
            int s = input.nextInt();
            //终点，范围1到n
            int e = input.nextInt();
            //长度
            int l = input.nextInt();
            
            if(s >= 1 && s <= n && e >= 1 && e <= n)
            {
                //无向有权图
                a[s][e] = l;
                a[e][s] = l;
            }
        }
        
        System.out.println();
        
        //距离数组
        int[] dist = new int[n+1];
        //前驱节点数组
        int[] prev = new int[n+1];
        
        int v =1 ;//顶点，从1开始
        dijkstra(v, a, dist, prev);
    }
    
    /**
     * 单源最短路径算法(迪杰斯特拉算法)
     * @param v 顶点
     * @param a 邻接矩阵表示图
     * @param dist 从顶点v到每个点的距离
     * @param prev 前驱节点数组
     */
    public static void dijkstra(int v, int[][] a, int[] dist, int[] prev)
    {
        int n = dist.length;
        /**
         * 顶点从1开始，到n结束，一共n个结点
         */
        if(v > 0 && v <= n)
        {
            //顶点是否放入的标志
            boolean[] s = new boolean[n];
            
            //初始化
            for(int i = 1; i < n; i++)
            {
                //初始化为 v 到 i 的距离
                dist[i] = a[v][i];
                //初始化顶点未放入
                s[i] = false;
                //v到i无路，i的前驱节点置空
                if(dist[i] == -1)
                {
                    prev[i] = 0;
                }
                else
                {
                    prev[i] = v;
                }
            }
            
            //v到v的距离是0
            dist[v] = 0;
            //顶点放入
            s[v] = true;
            
            //共扫描n-2次，v到v自己不用扫
            for(int i = 1; i < n - 1; i++)
            {
                int temp = Integer.MAX_VALUE;
                //u为下一个被放入的节点
                int u = v;
                
                //这个for循环为第二步，观测域为v的观测域
                //遍历所有顶点找到下一个距离最短的点
                for(int j = 1; j < n; j++)
                {
                    //j未放入，且v到j有路，且v到当前节点路径更小
                    if(!s[j] && dist[j] != -1 && dist[j] < temp)
                    {
                        u = j;
                        //temp始终为最小的路径长度
                        temp = dist[j];
                    }
                }
                
                //将得到的下一节点放入
                s[u] = true;
                
                //这个for循环为第三步，用u更新观测域
                for(int k = 1; k < n; k++)
                {
                    if(!s[k] && a[u][k] != -1)
                    {
                        int newdist=dist[u] + a[u][k];
                        if(newdist < dist[k] || dist[k] == -1)
                        {
                            dist[k] = newdist;
                            prev[k] = u;
                        }
                    }
                }
            }
        }
        
        for(int i = 2; i < n; i++)
        {
            System.out.println(i + "节点的最短距离是："
                + dist[i] + "；前驱点是：" + prev[i]);
        }

    }
}
/**
运行结果
请输入图的顶点和边的个数(格式：顶点个数 边个数)：5 7

请输入图的路径长度(格式：起点 终点 长度)：
1 2 4
1 4 2
2 3 4
2 4 1
3 4 1
3 5 3
4 5 7

2节点的最短距离是：3；前驱点是：4
3节点的最短距离是：3；前驱点是：4
4节点的最短距离是：2；前驱点是：1
5节点的最短距离是：6；前驱点是：3
**/