最接近点对问题_分治法
一、 问题描述
给定平面上的n个点，找其中的一对点，使得在n个点组成的所有点对中该点对间的距离最小。
二、 解题思路及所选算法策略的可行性分析
思路：利用分治法来解决问题。递归子结构求最接近点对总体可分为几个步骤：
1、当问题规模小于20，直接求解最小点对
2、将n个点组成的集合S分成2个子集S1和S2
3、递归求出两个子集中的最接近点对并比较出最小点对，记录距离dmin
4、以X坐标为基准找到所有点中线，在中线附近找出相距可能小于dmin的点对点，记录于S3和S4
5、求S3和S4每点对距离，和dmin进行比较，求解最接近点对
策略可行性分析：
设直线l上有2m个点，以m为中点将l分割成两条线段dl,dr，然后求出dl和dr这两点条线段中的最小点距d1,d2，此时d=min{d1,d2}，再通过计算出dl线段的中最大点与dr线段中的最小点之间的距离D，最小距离则为min{d,D}.
二维情况与此相似，最大的区别只是对于中线位置的点，二维情况只是针对中线旁好多可能点，再在Y轴方向上进行点的筛选，以减少平方计算次数。
三、 伪代码描述及复杂度分析
Public static double closestPoint(S)
{
1、首先，递归结束条件，当数组长度在一定范围内时直接求出最近点，蛮力求解
2、求所有点在X坐标中的中位数midX
3、以midX为界将所有点分成两组分别存放在两个表中
4、将两张表转化为数组类型，并分别按X坐标升序排列
5、求S1中的最近距离的两个点
6、求S2中的最近距离的两个点
7、求两最近距离的最小值
8、在S1、S2中收集距离中线小于d1的点，分别存放于两个表中
9、分别将表T3、T4转换为数组类型的S3、S4，并将其分别按Y坐标升序排列
10、求解S3、S4两者之间可能的更近（相比于d1）距离 , 以及构成该距离的点
}
复杂度分析：
设算法耗时T(n)。 算法第1步、第2步、第3步和第8步用了O(n)时间。第7步和第10步用了常数时间。第4步和第9步用了O(nlogn)时间。第5步和第6步分别用了T(n/2)时间。不过第4步和第9步是数组的排序预处理时间，所以不算在算法中。所以经由预处理的算法所需计算时间满足递归方程：
T(n)={ O(1) n<4
2T(n/2)+O(n) n>=4
由此，T(n)=O(nlogn)。
代码实现
dcPoint.java
package 分治法;
public class dcPoint implements Cloneable, Comparable<dcPoint>{
public dcPoint() {
x = 0;
y = 0;
}
public dcPoint(int x, int y) {
this.x = x;
this.y = y;
}
public void setX(int x) {
this.x = x;
}
public void setY(int y) {
this.y = y;
}
public int getX() {
return x;
}
public int getY() {
return y;
}
private int x;
private int y;
@Override
public int compareTo(dcPoint o) {
if(x == o.getX() && y == o.getY())
return 0;
else
return 1;
}
}
NPointPair.java
package 分治法;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Random;
import java.util.Set;
import java.util.TreeSet;
public class NPointPair {
/**
* 最近点问题
* @param S
*/
public static dcPoint[] closestPoint(dcPoint [] S){
dcPoint[] result = new dcPoint[2];
/**
* 0.首先，解决该问题的边界，当数组长度在一定范围内时直接求出最近点，蛮力求解
*/
double dmin = Double.POSITIVE_INFINITY;
double tmpmin = 0;
if(S.length <= 20){
for(int i = 0; i < S.length; i ++){
for(int j = i + 1; j < S.length; j ++){
tmpmin = Math.sqrt(Math.pow(S[i].getX() - S[j].getX(), 2)) + Math.pow(S[i].getY() - S[j].getY(), 2);
if(tmpmin < dmin){
dmin = tmpmin;
result[0] = S[i];
result[1] = S[j];
}
}
}
return result;
}
/**
*1.求所有点在X坐标的中位数
*/
int minX = (int) Double.POSITIVE_INFINITY; //保证假设的初始最小值足够大
int maxX = (int) Double.NEGATIVE_INFINITY; //保证假设的初始最大值足够小
for(int i = 0; i < S.length; i++){
if(S[i].getX() < minX)
minX = S[i].getX();
if(S[i].getX() > maxX)
maxX = S[i].getX();
}
int midX = (minX + maxX)/2;
/**
* 2.以midX为界将所有点分成两组分别存放在两个表中
*/
ArrayList T1 = new ArrayList();
ArrayList T2 = new ArrayList();
for(int i = 0; i < S.length; i++){
if(S[i].getX() <= midX) //是否要=号？
T1.add(S[i]);
if(S[i].getX() > midX)
T2.add(S[i]);
}
/**
* 3.将两张表转化为数组类型，并分别按X坐标升序排列
*/
dcPoint [] S1 = new dcPoint[T1.size()];
dcPoint [] S2 = new dcPoint[T2.size()];
T1.toArray(S1);
T2.toArray(S2);
mergeSort(S1, "x"); //按X坐标升序排列
mergeSort(S2, "x"); //按X坐标升序排列
/**
* 4.求S1中的最近距离的两个点
*/
dcPoint[] result1 = new dcPoint[2];
result1 = closestPoint(S1);
/**
* 5.求S2中的最近距离的两个点
*/
dcPoint[] result2 = new dcPoint[2];
result2 = closestPoint(S2);
/**
* 6.求两最近距离的最小值
*/
double d1 = Math.sqrt(Math.min(Math.pow(result1[0].getX() - result1[1].getX(), 2) + Math.pow(result1[0].getY() - result1[1].getY(), 2),
Math.pow(result2[0].getX() - result2[1].getX(), 2) + Math.pow(result2[0].getY() - result2[1].getY(), 2)));
if(Math.pow(result1[0].getX() - result1[1].getX(), 2) + Math.pow(result1[0].getY() - result1[1].getY(), 2) <
Math.pow(result2[0].getX() - result2[1].getX(), 2) + Math.pow(result2[0].getY() - result2[1].getY(), 2))
result = result1;
else
result = result2;
/**
* 7.在S1、S2中收集距离中线小于d1的点，分别存放于两个表中
*/
ArrayList T3 = new ArrayList();
ArrayList T4 = new ArrayList();
for(int i = 0; i < S1.length; i++){
if(midX - S1[i].getX() < d1)
T3.add(S1[i]);
}
for(int i = 0; i < S2.length; i++){
if(S2[i].getX() - midX < d1){
T4.add(S2[i]);
}
}
/**
* 8.分别将表T3、T4转换为数组类型的S3、S4，并将其分别按Y坐标升序排列
*/
dcPoint [] S3 = new dcPoint [T3.size()];
dcPoint [] S4 = new dcPoint [T4.size()];
T3.toArray(S3);
T4.toArray(S4);
mergeSort(S3, "y");
mergeSort(S4, "y");
/**
* 求解S3、S4两者之间可能的更近（相比于d1）距离 , 以及构成该距离的点
*/
double d = Double.POSITIVE_INFINITY;
for(int i = 0; i < S3.length; i ++){
for(int j = 0; j < S4.length; j ++){
if(Math.abs(S3[i].getY() - S4[j].getY()) < d1){
double tmp = Math.sqrt(Math.pow(S3[i].getX() - S4[j].getX(), 2) + Math.pow(S3[i].getY() - S4[j].getY(), 2));
if(tmp < d){
d = tmp;
result[0] = S3[i];
result[1] = S4[j];
}
}
}
}
return result;
}
//归并排序
private static void mergeSort(dcPoint[] a, String property){
dcPoint[] tempArray = new dcPoint[a.length];
mergeSort(a, tempArray, 0, a.length - 1, property);
}
private static void mergeSort(dcPoint[] a, dcPoint [] tempArray, int left, int right, String property){
if(left < right){
int center = (left + right) >> 1;
//分治
mergeSort(a, tempArray, left, center, property);
mergeSort(a, tempArray, center + 1, right, property);
//合并
merge(a, tempArray, left, center + 1, right, property);
}
}
private static void merge(dcPoint [] a, dcPoint [] tempArray, int leftPos, int rightPos, int rightEnd, String property){
int leftEnd = rightPos - 1;
int numOfElements = rightEnd - leftPos + 1;
int tmpPos = leftPos; //游标变量, 另两个游标变量分别是leftPos 和 rightPos
while(leftPos <= leftEnd && rightPos <= rightEnd){
if(property.equals("x")){
if(a[leftPos].getX() <= a[rightPos].getX())
tempArray[tmpPos++] = a[leftPos++];
else
tempArray[tmpPos++] = a[rightPos++];
}else if(property.equals("y")){
if(a[leftPos].getY() <= a[rightPos].getY())
tempArray[tmpPos++] = a[leftPos++];
else
tempArray[tmpPos++] = a[rightPos++];
}else
throw new RuntimeException();
}
while(leftPos <= leftEnd)
tempArray[tmpPos++] = a[leftPos++];
while(rightPos <= rightEnd)
tempArray[tmpPos++] = a[rightPos++];
//将排好序的段落拷贝到原数组中
System.arraycopy(tempArray, rightEnd-numOfElements+1, a, rightEnd-numOfElements+1, numOfElements);
}
public static void main(String[] args) {
Set<dcPoint> testData = new TreeSet<dcPoint>();
Random random = new Random();
int x = 0;
int y = 0;
for(int i = 0;i < 50;i++){
x = random.nextInt(500);
y = random.nextInt(500);
System.out.println("x:" + x + " y:" + y);
testData.add(new dcPoint(x, y));
}
dcPoint [] S = new dcPoint[testData.size()];
S = (dcPoint[]) testData.toArray(S);
for(int i = 0; i < S.length; i ++){
System.out.println("(" + S[i].getX() + ", " + S[i].getY() + ")");
}
System.out.println(testData.size());
dcPoint [] result = new dcPoint [2];
result = closestPoint(S);
System.out.println("最近的两点分别是(" + result[0].getX() + ", " + result[0].getY()
+ ") 和 (" + result[1].getX() + ", " + result[1].getY() + "), 最近距离为："
+ Math.sqrt(Math.pow(result[0].getX() - result[1].getX(), 2) + Math.pow(result[0].getY() - result[1].getY(), 2)));
}
}
