程序的表示、转换和链接（一）计算机中数据的表示

一、 数据的表示和存储

　　机器级数据包括：

　　 数值数据：定点数与浮点数

　　非数值数据：逻辑数，字符

　　真值和机器数

　　机器数：0/1序列 

　　真值：算术、逻辑意义上的值

• 　　数值数据三要素：
  • 　　进位计数值（就是进制）

　　　　二进制、十六进制（后缀H, 前缀0x）、八进制（后缀O）

• • 　　定、浮点表示（计算机中不显式地标注小数点的位置，约定位置）

　　　　　　定点小数是什么？和浮点小数的区别？

　　　　　　三个数来SME来表示一个数，分别是符号、尾数、阶数；

　　　　 　　其中尾数是一个定点小数，阶数是定点整数 

　　　　　问：123与-123在8位二进制下的补码，在16位二进制下的补码；

　　　　　　　　如何由机器数（补码）迅速计算得到真值？

　　　　　　　　带有符号位的原码，取反加一，得到补码；

　　　　　　　　符号位为1的补码转为原码：除符号位外取反加一

　　整数的机器数的表示与运算规则，请看下面的例子　　：

#include<iostream>
#define INT32_MAX 2147483647
using namespace std;
int main(){
    cout << 2147483647+1 << endl;
    cout <<  (INT32_MAX > -INT32_MAX-1) << endl; // true
    cout << (INT32_MAX > -INT32_MAX-2) << endl; // false
    cout << -INT32_MAX-2 << endl; //发现溢出为INT32_MAX了
    cout << endl;

    cout << (-1 < 0u) << endl;
    // 结果为false, -1的补码为FFFFFFFFH,即最大的无符号整数！
    // 下面可以验证：
    unsigned unsigned_int32_max = INT32_MAX*2+1;
    cout << "Max unsigned int32 : " << unsigned_int32_max << endl;
    cout << (-1u == unsigned_int32_max) << endl; // 输出为true
    cout << (-1 + 0u) << endl;
    /*
    通过上面的输出我们可知，将有符号数化为无符号数
    就是直接按照原码方式解释内存中的机器码
    */

    cout << ((unsigned)INT32_MAX > -INT32_MAX-1) << endl; 
    // false, 实际上比较的是原码 7FFFB 与 8000B
    cout << (INT32_MAX > int(2147483648U)) << endl;
    // true, 右边2147483648U在内存中是7000H,如果按照有符号
    // 数进行解释则是-2147483648
    cout << (-INT32_MAX-1 == int(2147483648U)) << endl;
    
    cout << endl;
    int a = -2147483648; // 机器码 0x8000
    cout << hex << (a + 0u) << ' ' << (a + 0u) << endl;
    //输出0x8000, 1*2^31也就是2147483648
    unsigned b = 1;
    cout << a + b << endl;// 输出0x8001
    unsigned c = -1; // -1机器码0xffff
    cout << c << endl;// 输出无符号32位最大
    // 结果发现int是64位的
    system("pause");
}

 

　　因此可以总结为：

　　0. 对于没有参加运算的字面值常数，可以正常输出，并且编译器自动将其识别为int，long,long long；参加运算的字面值则先强制转换为相同的类型，再进行运算；

　　1. 当unsigned字面值与有符号字面值运算时，会将有符号数强制转换为无符号数，

然后按照无符号数的规则（原码表示）解释、计算内存中的机器码；

　　2. 表达式中的变量同样也要先被强制转换为相同类型，再进行计算。

 

 　　浮点数的表示与运算

　　请思考，32位浮点数（1位符号，8位阶数，23位尾数）能够表示的实数范围？

　　请思考0，正负无穷的机器数形式。规范数与非规范数。

 

　　数据的基本宽度：

　　计算机中存储的最小单位是8bit一个字节（Byte），字节是最小的可寻址单位。

　　字 和 字长 的概念有所不同。（字长：数据通路的宽度，部件、总线的宽度和运算器的位位数要一致）x86的字都是16位，而字长从386开始就是32位了。

　　大端存放与小端存放：存储数据的地址是最低有效字节LSB的地址还是MSB的地址。

　　

二、运算电路基础

• 真值表、逻辑表达式、与或非、异或
• 从逻辑门到n位逻辑门
• 组合逻辑电路与时序逻辑电路
• n位加法器以逻辑门和全加器为基础，实现了n位无符号数的加法运算
• 整数加/减运算器以加法器和多路选择器为基础，实现整数加减法
• 最终实现ALU, 整数乘除与浮点运算 　
  

 

 三、乘除运算与浮点数运算

 　　整数乘法运算

　　n位整数相乘，在运算电路中得到的结果实际上是2*n位，但是通常只取低n位的值赋给结果。

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
    int a = 100000,b = 100000;
    // 2 1 4 7 4 8 3 6 4 7
    // 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
    cout << a*b << endl; // 溢出得到1410065408
    a = 111111, b = 111111; // 溢出得到负数！-539247567
    cout << a*b << endl;
    system("pause");
    return 0;
}

　　无符号/有符号整数的乘法，都可以检测高n位来检测是否溢出。

　　硬件不判定溢出，只把2n位给软件。无符号乘法与带符号乘法是两个不同的指令！（而加减运算不区分有符号/无符号）。利用整数乘法的溢出漏洞可以申请超大的堆区空间，然后恶意改写堆缓冲区，对系统进行攻击。

　　变量与常数之间的乘运算不使用乘法电路，而是用编译器通过移位、加法和减法的组合进行运算。

　　整数除法运算

• 只有2^(n-1)/-1这种情形会出现整数溢出
• 当除数无法整除被除数时，正数/负数截断的方式不同(地板/天板)
• 整除0的结果无法用机器数表示！
• 除法指令比乘法指令所需时间更长！（要优化程序可以代替除法用其他方式实现）
• 有符号数变量除以2的幂，正数直接右移（右移的位直接丢弃，如果是整数则丢弃的全是0，无影响），负数则需要先加偏移量　　

　　浮点数运算

• 规格化浮点数的加减法 乘除法
• 阶码上溢/下溢 尾数溢出等异常情况
• 机器码只能精确表示1/(2的幂)这样的小数！1/3,1/10都是没法精确表示的！
• IEEE 754的double浮点数8字节64位，必然最多只能表示2^64个小数，精度的损失不可避免
• int整除0无法用机器码（0和1的组合）表示，因为机器码都用完了。但浮点数可以用全1阶码/全0尾数表示无穷大！
• 通过附加位保证更高的精度
• 将同一实数赋给float和double类型的数据，结果不同，因为float最多只能精确表示小数点后7位，后面的数位是舍/入的结果（可能大也可能小）
• C语言中float/double都是IEEE754的标准，而long double则与编译器和处理器类型有关
• int转float，不会溢出但可能发生舍入。double转int/float很可能损失精度

　　

int x;
float f;
double d;
x == (int)(float)x; // 可能false，int转float会损失精度
x == (int)(double)x; // true,因为int无非是31个有效数字，而double是53个有效数字
f == (float)(double)f;// true
f == -(-f);  //true
d*d >= 0; // true
f*f >= 0; // true
x*x >=0; // false 高n位丢弃
(d+f)-d == f; // false 因为d很大 f很小时，对阶，右移高位变成0

• 范围和精度

　　float最大3.4*10^38, double最大1.8*10^308

　　对于浮点数，加法结合律是不成立的！（大数吃小数，对阶右移全0了）

　　精度问题可能导致严重问题！（火箭爆炸，水平速率数值溢出）

　　不同数据类型之间的转换很容易出现问题，导致严重错误。非常小的精度误差，积累起来将导致可观的误差。

　　并不是所有小数都适合用浮点数表示，如果需要将一个整型变量乘以一个确定的小数常量，可以先用定点整数相乘，再移位得到结果。