浅谈不动点法在数列中的应用
浅谈不动点法在数列中的应用
不动点法(fixed point method)是解方程的一种一般方法，对研究方程解的存在性、唯一性和具体计算有重要的理论与实用价值。数学中的各种方程，诸如代数方程、微分方程和积分方程等等，均可改写成 \(x=f(x)\) 的形式。
不动点法在解释线性空间，动态规划以及其他领域的问题中都有很重要的应用。
压缩映射与巴拿赫不动点定理（仅限于了解，与文章内容无直接关联）
映射的图论理解
我们高中阶段学习的函数其实是数集 \(A\) 到数集 \(B\) 的映射，其中 \(\forall x\in A\) 有且仅有唯一的 \(y\in B\) 与之对应。
那么我们可以用一张有向二分图来表示这种映射关系：
这是一种一一对应的情况，例如其中 \(f(2)=7\)
不动点的概念与性质
对于函数 \(y=f(x)\)，若 \(f(x_0)=x_0\)，则称 \(x=x_0\) 是函数的一个一阶不动点。
类似地，如果有 \(f(f(x_0))=x_0\)，则称 \(x=x_0\) 是函数的一个二阶不动点。
令 \(f^{(n)}(x)=\underbrace{f(f(f(\cdots f}_{n个f}(x))))\)，并补充定义 \(f^{(0)}(x)=x\)，那么如果有 \(f^{(n)}(x_0)=x_0\)，则称 \(x=x_0\) 是函数的一个 \(n\) 阶不动点。
类似于零点和极值点，不动点不是点，而是一个横坐标。
利用图论来思考映射，我们不难得出：一个函数的不动点也是它的任意次迭代函数的不动点。
也就是说，\(x_0\to x_0\) 这个循环在一直进行下去，这也是不动点的不动之所在。
引例
已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_{n+1}=2a_n+2,n\in \N^*\)，求 \(\{a_n\}\) 的通项公式。
啪的一下，很快啊！
只需要 \(a_{n+1}+2=2(a_n+2)\)，求解 \(b_{n+1}=2b_n\) 即可。
但是对于很多复杂递推公式来说，人类直接观察可解的题目是非常有限的，这其中要求我们了解不动点法的原理及其正确性。
递推数列与函数迭代
文章开头说过，利用不动点法在于求解 \(x=f(x)\) 类型的函数。
放在数列里，\(a_{n+1}=f(a_n)\) 。
引例中 \(f(a_n)=2a_n+2\)。
所谓函数迭代，其实就是一步步地去计算：
所以求解 \(a_n\) 的过程可以表示为 \(a_n=f^{(n-1)}(a_1)\)，于是，求解数列通项的过程就转化为了求解数列迭代的过程。
换元法
引例中，我们其实是通过换元将递推公式复杂的数列 \(\{a_n\}\) 转化为了易于求解的数列 \(\{b_n\}\)，进而反解得到 \(\{a_n\}\) 。
这启示我们要探究换元前和换元后两个函数间的关系。
对于一个函数 \(y=f(x)\)，我们令 \(t=\varphi(x)\) 。
为了研究简便，我们不妨令 \(t=\varphi(x)\) 是一一对应的情况，这样 \(x=\varphi^{-1}(t)\) 。
在函数迭代的过程中，如果发生了 \(x\to f(x)\) 的变化，那么我们也需要找到一种 \(t\to g(t)\) 的变化方法，来满足数列 \(\{b_n\}\) 的迭代过程。
不难得出，\(g(t)=\varphi(f(x))=\varphi(f(\varphi^{-1}(t)))\)，其中 \(f(x)\) 是下一个 \(x\) 对应的值。
可以得到，\(g^{(n)}(t)=\varphi(f^{(n)}(\varphi^{-1}(t)))\)，也就是说，先让 \(x\) 迭代 \(n\) 次变为 \(f^{(n)}(x)\)，再利用 \(g^{(n)}(t)=\varphi(f^{(n)}(x))=\varphi(f^{(n)}(\varphi^{-1}(t)))\) 求解。
最终我们得出结论：
不动点法解决求数列通项问题
利用上面的结论，我们假设 \(x=x_0\) 是 \(f(x)\) 的一个一阶不动点，那么 \(t_0=\varphi(x_0)\) 也是 \(g(t)\) 的一个一阶不动点（\(x\) 不动了对应的 \(t\) 肯定也不动）。
所以我们就找到了函数 \(f(x)\) 和函数 \(g(t)\) 之间不动点的关系，它们在数值上表示为 \(t_0=\varphi(x_0)\) 。
我们回到数列中来，对于一个递推公式 \(a_{n+1}=f(a_n)\)，在可以利用不动点法求解的情况下，一定会整理为 \(b_{n+1}=k\times b_n\) 的形式（等比形式）。
而对于引例中的 \(b_{n+1}=2b_n\) ，这个数列的不动点显然是 \(0\)。
推广到 \(b_{n+1}=k\times b_n\) 的形式，数列的不动点仍然是 \(0\)。
于是 \(t_0=\varphi(x_0)\) 可以改写为 \(\varphi(x_0)=0\)，这意味着只要知道了 \(x_0\)，我们就可以构造出一个 \(t=\varphi(x)\) 的映射，其中求解\(\varphi(x)\) 的过程就是求数列通项时的构造新数列的过程。
自此，我说明了不动点法求解通项公式的原理，让我们再次回到引例：
求解不动点得 \(x_0=-2\)，因为 \(t_0=\varphi(x_0)=0\)，所以 \(\varphi(x)=x-x_0=x+2\) 。
这也是上数学课时要求的：
- 求解不动点 \(x_0\)
- 两边减去不动点 \(x_0\)
进而便可以得到等比数列形式的式子。
没有不动点的情况
这位老哥延申到了复数域的范围，超出了本文内容所讲述的范围，大家有兴趣的可以学习一下。
