浅谈不动点法在数列中的应用

浅谈不动点法在数列中的应用

不动点法(fixed point method)是解方程的一种一般方法，对研究方程解的存在性、唯一性和具体计算有重要的理论与实用价值。数学中的各种方程，诸如代数方程、微分方程和积分方程等等，均可改写成 $x=f(x)$ 的形式。

不动点法在解释线性空间，动态规划以及其他领域的问题中都有很重要的应用。

压缩映射与巴拿赫不动点定理（仅限于了解，与文章内容无直接关联）

映射的图论理解

我们高中阶段学习的函数其实是数集 $A$ 到数集 $B$ 的映射，其中 $\mathrm{\forall }x\in A$ 有且仅有唯一的 $y\in B$ 与之对应。

那么我们可以用一张有向二分图来表示这种映射关系：

这是一种一一对应的情况，例如其中 $f(2)=7$

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不动点的概念与性质

对于函数 $y=f(x)$，若 $f(x_0)=x_0$，则称 $x=x_0$ 是函数的一个一阶不动点。

类似地，如果有 $f(f(x_0))=x_0$，则称 $x=x_0$ 是函数的一个二阶不动点。

令 $f^{(n)}(x)=\underset{n\mathrm{个}f}{\underbrace{f(f(f(\cdots f}}(x))))$，并补充定义 $f^{(0)}(x)=x$，那么如果有 $f^{(n)}(x_0)=x_0$，则称 $x=x_0$ 是函数的一个 $n$ 阶不动点。

类似于零点和极值点，不动点不是点，而是一个横坐标。

利用图论来思考映射，我们不难得出：一个函数的不动点也是它的任意次迭代函数的不动点。

也就是说，$x_0\to x_0$ 这个循环在一直进行下去，这也是不动点的不动之所在。

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引例

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=2a_n+2,n\in {\text{N}}^{\ast }$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式。

啪的一下，很快啊！

只需要 $a_{n+1}+2=2(a_n+2)$，求解 $b_{n+1}=2b_n$ 即可。

但是对于很多复杂递推公式来说，人类直接观察可解的题目是非常有限的，这其中要求我们了解不动点法的原理及其正确性。

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递推数列与函数迭代

文章开头说过，利用不动点法在于求解 $x=f(x)$ 类型的函数。

放在数列里，$a_{n+1}=f(a_n)$ 。

引例中 $f(a_n)=2a_n+2$。

所谓函数迭代，其实就是一步步地去计算：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& a_2& =f(a_1)\text{(2)}& a_3& =f(a_2)=f(f(a_1))\text{(3)}& a_4& =f(a_3)=f(f(a_2))=f(f(f(a_1)))\text{(4)}& & \cdots \end{array}$$

所以求解 $a_n$ 的过程可以表示为 $a_n=f^{(n-1)}(a_1)$，于是，求解数列通项的过程就转化为了求解数列迭代的过程。

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换元法

引例中，我们其实是通过换元将递推公式复杂的数列 $\{a_n\}$ 转化为了易于求解的数列 $\{b_n\}$，进而反解得到 $\{a_n\}$ 。

这启示我们要探究换元前和换元后两个函数间的关系。

对于一个函数 $y=f(x)$，我们令 $t=\phi (x)$ 。

为了研究简便，我们不妨令 $t=\phi (x)$ 是一一对应的情况，这样 $x={\phi }^{-1}(t)$ 。

在函数迭代的过程中，如果发生了 $x\to f(x)$ 的变化，那么我们也需要找到一种 $t\to g(t)$ 的变化方法，来满足数列 $\{b_n\}$ 的迭代过程。

不难得出，$g(t)=\phi (f(x))=\phi (f({\phi }^{-1}(t)))$，其中 $f(x)$ 是下一个 $x$ 对应的值。

可以得到，$g^{(n)}(t)=\phi (f^{(n)}({\phi }^{-1}(t)))$，也就是说，先让 $x$ 迭代 $n$ 次变为 $f^{(n)}(x)$，再利用 $g^{(n)}(t)=\phi (f^{(n)}(x))=\phi (f^{(n)}({\phi }^{-1}(t)))$ 求解。

最终我们得出结论：

$$g^{(n)}(t)=\phi (f^{(n)}({\phi }^{-1}(t)))$$

不动点法解决求数列通项问题

利用上面的结论，我们假设 $x=x_0$ 是 $f(x)$ 的一个一阶不动点，那么 $t_0=\phi (x_0)$ 也是 $g(t)$ 的一个一阶不动点（$x$ 不动了对应的 $t$ 肯定也不动）。

所以我们就找到了函数 $f(x)$ 和函数 $g(t)$ 之间不动点的关系，它们在数值上表示为 $t_0=\phi (x_0)$ 。

我们回到数列中来，对于一个递推公式 $a_{n+1}=f(a_n)$，在可以利用不动点法求解的情况下，一定会整理为 $b_{n+1}=k\times b_n$ 的形式（等比形式）。

而对于引例中的 $b_{n+1}=2b_n$ ，这个数列的不动点显然是 $0$。

推广到 $b_{n+1}=k\times b_n$ 的形式，数列的不动点仍然是 $0$。

于是 $t_0=\phi (x_0)$ 可以改写为 $\phi (x_0)=0$，这意味着只要知道了 $x_0$，我们就可以构造出一个 $t=\phi (x)$ 的映射，其中求解$\phi (x)$ 的过程就是求数列通项时的构造新数列的过程。

自此，我说明了不动点法求解通项公式的原理，让我们再次回到引例：

$$a_{n+1}=2a_n+2$$

求解不动点得 $x_0=-2$，因为 $t_0=\phi (x_0)=0$，所以 $\phi (x)=x-x_0=x+2$ 。

这也是上数学课时要求的：

1. 求解不动点 $x_0$
2. 两边减去不动点 $x_0$

进而便可以得到等比数列形式的式子。

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没有不动点的情况

这位老哥延申到了复数域的范围，超出了本文内容所讲述的范围，大家有兴趣的可以学习一下。

浅谈“不动点”求数列通项的方法