[总结] 行列式

[总结] 行列式

概念类

数学家想找到一个由矩阵到数字的映射 $f:M(R)->R$，于是有了行列式。

$f$ 满足以下条件：

• 行线性
• 行交错性
• 规范性

称这个函数值为行列式函数。

行线性

1. 对矩阵一行乘上一个数 $k$，函数值也乘上一个数 $k$；
2. 把矩阵第 $i$ 行加到第 $j$ 行 $(i\ne j)$ 上，函数值不变。

$$f\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\times k\\ \cdots \\ a_n\end{array}\right)=f\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ \cdots \\ a_n\end{array}\right)\times k$$

$$f\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_i\\ \cdots \\ a_j\\ \cdots \\ a_n\end{array}\right)=f\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_i+a_j\\ \cdots \\ a_j\\ \cdots \\ a_n\end{array}\right)$$

行交错性

如果一个矩阵有两行相等，那么行列式函数值为 $0$。

$$f\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_i\\ \cdots \\ a_i\\ \cdots \\ a_n\end{array}\right)=0$$

规范性

$$f(I_n)=1$$

其中 $I_n$ 表示 $n$ 阶单位方阵。

性质

• 矩阵转置，行列式值不变。
• 矩阵行（列）交换，行列式值取反。
• 矩阵行（列）相加或相减，行列式值不变。
• 矩阵行（列）所有元素同时乘以数 $k$，矩阵等比例变大。

考虑利用行线性的性质来证明第二条。

$$f\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_i\\ \cdots \\ a_j\\ \cdots \\ a_n\end{array}\right)=f\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_i+a_j\\ \cdots \\ a_j\\ \cdots \\ a_n\end{array}\right),f\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_j\\ \cdots \\ a_j\\ \cdots \\ a_n\end{array}\right)=0$$

可以得到：

$$f\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_i\\ \cdots \\ a_j\\ \cdots \\ a_n\end{array}\right)+f\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_j\\ \cdots \\ a_j\\ \cdots \\ a_n\end{array}\right)=f\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_i+a_j\\ \cdots \\ a_j\\ \cdots \\ a_n\end{array}\right)$$

也就是说：在这种情况下，两个矩阵“相加”的行列式值可以拆分成两个“子矩阵”行列式值的和。

所以：

$$f\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_i\\ \cdots \\ a_j\\ \cdots \\ a_n\end{array}\right)+f\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_j\\ \cdots \\ a_i\\ \cdots \\ a_n\end{array}\right)=f\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_i+a_j\\ \cdots \\ a_i+a_j\\ \cdots \\ a_n\end{array}\right)=0$$

从而得到：

$$f\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_i\\ \cdots \\ a_j\\ \cdots \\ a_n\end{array}\right)=-f\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_j\\ \cdots \\ a_i\\ \cdots \\ a_n\end{array}\right)$$

行列式函数的性质

行列式函数的构造及其唯一性的证明

$$|det(A)|=\sum _{n\mathrm{阶}\mathrm{排}\mathrm{列}p}(-1{)}^{\tau (p)}\prod _{i=1}^n{A}_{i,p_i}$$

证明的大体思路是把每一个向量 $a_i$ 拆成线性组合的形式，把系数提出来，最后发现有贡献的一定是排列，因为有重复行的矩阵函数值为 $0$。

这是行列式函数的核心所在，基本上所有的题都是根据这个公式表现出来的。

关键词：逆序对，奇数比偶数多多少 $\cdots \cdots$

行列式的求解

利用通项公式来理解计算过程

核心是消成上三角矩阵，对角线乘积就是函数值。

这是因为削成上三角矩阵后行列式函数值不变，而且排列 $p$ 的选取在有值的情况下唯一。

1. 高斯消元法（非约旦）。

适用于整数有逆元或者小数的情况。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 600 + 10;
int n,P;
#define LL long long
#define read() read<int>()
LL a[maxn][maxn];
int main(){
	n=read();P=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)G[i][j]=read<LL>();
	LL ans=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!a[i][i]){
			for(int j=i+1;j<=n;j++)if(a[j][i]){
				swap(a[i],a[j]);ans=(P-ans);
				break;
			}
		}
		if(!a[i][i]){
			ans=0;break;
		}
		ans=1LL*ans*a[i][i];
		LL inv=power(a[i][i],P-2);
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			LL t=a[j][i]*inv%P;
			for(int k=i;k<=n;k++)a[j][k]=(a[j][k]-t*a[i][k]%P+P)%P;
		}
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

2. 辗转相除法。

注意，复杂度是 $\text{O}(n^2(n+logn))$ 的。

适用于 $P$ 非质数的情况。

行列式非零当且仅当矩阵的秩是 $n$ ，也就是满秩。

每次选取尽量小的数字作为辗转相除时的 $b$，常数小。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 600 + 10;
int n,P;
#define LL long long
#define read() read<int>()
LL G[maxn][maxn];
int main(){
	n=read();P=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)G[i][j]=read<LL>();
	LL ans=1;
	for(int i=1;i<n;i++){
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			while(G[j][i]){
				LL t=G[i][i]/G[j][i];
				for(int k=i;k<=n;k++)G[i][k]=(G[i][k]-t*G[j][k]%P+P)%P;
				swap(G[i],G[j]);ans=(P-ans);
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)ans=1LL*ans*G[i][i]%P;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}