[数据结构] Splay

[数据结构] Splay

与 Treap 相比，并没有堆性质的限制，而是通过其灵活变换维持复杂度。

是均摊 \(\text O(logn)\) 的数据结构。

本来 Zhang_RQ 早就讲了，今天才学会

概念类

需要维护的 基本 东西有：

左右儿子，父亲，权值，一般会维护 \(sz\) 和 \(cnt\)，便于进行二分操作。

基本操作

P3369 【模板】普通平衡树

特有操作---rotate and splay

所谓 \(rotate\) 操作，就是把一个点 \(x\) 转到父亲上，分为左旋和右旋。

也就是四句话：

让父亲变成它的儿子，让祖父变成它的父亲，保留一侧的儿子，让另一侧的儿子变成它父亲的一侧儿子。

其中一侧表示 \(x\) 是左儿子还是右儿子，是一种相对关系。

对于 splay ，可以简单理解为多个 rotate 使得 \(x\) 处于终点位置。

注意：儿子和父亲单侧的时候要先转父亲再转儿子，注意最后 pushup 的顺序。

void rotate(int x){
	int y=fa[x],z=fa[y];
	bool rsx=rson(x),rsy=rson(y);
	if(z)ch[z][rsy]=x;
	else rt=x;
	ch[y][rsx]=ch[x][!rsx];ch[x][!rsx]=y;
	fa[y]=x;fa[x]=z;fa[ch[y][rsx]]=y;
	pushup(y);pushup(x);
}
void splay(int x,int &k){//把 x 转到 k
	int root=fa[k];
	while(fa[x]!=root){
		int y=fa[x],z=fa[y];
		if(z==root)rotate(x);
		else rotate(rson(x)==rson(y)?y:x),rotate(x);
	}
	k=x;//传引用给树根
}

插入操作

int find(int x){//找到 权值x 所在结点编号
	int nw=rt;
	while(nw){
		if(val[nw]==x){splay(nw,rt);return nw;}//注意最后要 splay
		if(val[nw]<x)nw=ch[nw][1];
		else nw=ch[nw][0];
	}
	return 0;
}

void insert(int x){
	if(!rt)return rt=nd(x,0),void();//特判空树
	int nw=rt;
	while(nw){
		if(val[nw]==x){//先判是否已经存在
			sz[nw]++;cnt[nw]++;splay(nw,rt);return ;
		}
		bool fl=val[nw]<x;//巧妙的写法
		if(!ch[nw][fl]){
			ch[nw][fl]=nd(x,nw);splay(ch[nw][fl],rt);
			return ;
		}
		else nw=ch[nw][fl];
	}
}

删除结点操作

注意不要漏情况。

void del(int x){
	int nw=find(x);//nw已经是根
	if(cnt[nw]>1){cnt[nw]--;sz[nw]--;return;}
	if(!ch[nw][0] && !ch[nw][1]){rt=0;return ;}
	if(!ch[nw][0]){rt=ch[nw][1];fa[ch[nw][1]]=0;return ;}
	if(!ch[nw][1]){rt=ch[nw][0];fa[ch[nw][0]]=0;return ;}
	int y=ch[nw][0];
	while(ch[y][1])y=ch[y][1];splay(y,ch[nw][0]);
	ch[ch[nw][0]][1]=ch[nw][1];fa[ch[nw][1]]=ch[nw][0];
	fa[ch[nw][0]]=0;rt=ch[nw][0];
	pushup(rt);
}

其他平衡树的操作

int Kth(int k){
	int nw=rt;
	while(k){
		int num=cnt[nw]+sz[ch[nw][0]];
		if(k<=num && k>sz[ch[nw][0]])return val[nw];
		if(k<num)nw=ch[nw][0];
		else k-=num,nw=ch[nw][1];
	}
	return 0;
}
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int pre(int x){
	int nw=rt,ans=-INF;
	while(nw){
		if(val[nw]<x)ans=max(ans,val[nw]),nw=ch[nw][1];
		else nw=ch[nw][0];
	}
	return ans;
}
int suc(int x){
	int nw=rt,ans=INF;
	while(nw){
		if(val[nw]>x)ans=min(ans,val[nw]),nw=ch[nw][0];
		else nw=ch[nw][1];
	}
	return ans;
}
int Rank(int x){
	int nw=find(x);
	return sz[ch[nw][0]]+1;
}

总代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
template <typename T>
inline T read(){
	T x=0;char ch=getchar();bool fl=false;
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')fl=true;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){
		x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();
	}
	return fl?-x:x;
}
const int maxn = 1e5 + 10;
int val[maxn],ch[maxn][2],fa[maxn],sz[maxn],cnt[maxn];
int rt;
inline void pushup(int x){
	sz[x]=sz[ch[x][0]]+sz[ch[x][1]]+cnt[x];return ;
}
inline bool rson(int x){return ch[fa[x]][1]==x;}
void rotate(int x){
	int y=fa[x],z=fa[y];
	bool rsx=rson(x),rsy=rson(y);
	if(z)ch[z][rsy]=x;
	else rt=x;
	ch[y][rsx]=ch[x][!rsx];ch[x][!rsx]=y;
	fa[y]=x;fa[x]=z;fa[ch[y][rsx]]=y;
	pushup(y);pushup(x);
}
void splay(int x,int &k){
	int root=fa[k];
	while(fa[x]!=root){
		int y=fa[x],z=fa[y];
		if(z==root)rotate(x);
		else rotate(rson(x)==rson(y)?y:x),rotate(x);
	}
	k=x;//传引用给树根
}
int find(int x){
	int nw=rt;
	while(nw){
		if(val[nw]==x){splay(nw,rt);return nw;}
		if(val[nw]<x)nw=ch[nw][1];
		else nw=ch[nw][0];
	}
	return 0;
}
int tot;
inline int nd(int x,int f){
	val[++tot]=x;fa[tot]=f;
	sz[tot]=cnt[tot]=1;
	return tot;
}
void insert(int x){
	if(!rt)return rt=nd(x,0),void();
	int nw=rt;
	while(nw){
		if(val[nw]==x){
			sz[nw]++;cnt[nw]++;splay(nw,rt);return ;
		}
		bool fl=val[nw]<x;
		if(!ch[nw][fl]){
			ch[nw][fl]=nd(x,nw);splay(ch[nw][fl],rt);
			return ;
		}
		else nw=ch[nw][fl];
	}
}
void del(int x){
	int nw=find(x);
	if(cnt[nw]>1){cnt[nw]--;sz[nw]--;return;}//nw已经是根
	if(!ch[nw][0] && !ch[nw][1]){rt=0;return ;}
	if(!ch[nw][0]){rt=ch[nw][1];fa[ch[nw][1]]=0;return ;}
	if(!ch[nw][1]){rt=ch[nw][0];fa[ch[nw][0]]=0;return ;}
	int y=ch[nw][0];
	while(ch[y][1])y=ch[y][1];splay(y,ch[nw][0]);
	ch[ch[nw][0]][1]=ch[nw][1];fa[ch[nw][1]]=ch[nw][0];
	fa[ch[nw][0]]=0;rt=ch[nw][0];
	pushup(rt);
}
int Kth(int k){
	int nw=rt;
	while(k){
		int num=cnt[nw]+sz[ch[nw][0]];
		if(k<=num && k>sz[ch[nw][0]])return val[nw];
		if(k<num)nw=ch[nw][0];
		else k-=num,nw=ch[nw][1];
	}
	return 0;
}
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int pre(int x){
	int nw=rt,ans=-INF;
	while(nw){
		if(val[nw]<x)ans=max(ans,val[nw]),nw=ch[nw][1];
		else nw=ch[nw][0];
	}
	return ans;
}
int suc(int x){
	int nw=rt,ans=INF;
	while(nw){
		if(val[nw]>x)ans=min(ans,val[nw]),nw=ch[nw][0];
		else nw=ch[nw][1];
	}
	return ans;
}
int Rank(int x){
	int nw=find(x);
	cerr<<"nw:"<<nw<<endl;//
	return sz[ch[nw][0]]+1;
}
#define read() read<int>()
int main(){
	int n=read();
	while(n--){
		int op=read(),x=read();
		if(op==1)insert(x);
		if(op==2)del(x);
		if(op==3)printf("%d\n",Rank(x));
		if(op==4)printf("%d\n",Kth(x));
		if(op==5)printf("%d\n",pre(x));
		if(op==6)printf("%d\n",suc(x));
	}
	return 0;
}