[动态规划] 二次扫描与换根法
二次扫描与换根法
一些定义
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所谓二次扫描与换根法，就是一种处理无根树问题的方法
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算法特点：
- 第一次扫描时。在 “有根树” 上进行一次 树形DP 用来处理关键数据（准备工作），进行一次 \(dfs\) ，此过程是 自下及上 的，符合常规
- 第二次扫描时。在刚才选定的根上进行 自上及下 的推导，借助第一步处理的信息完成 换根后的解
但看理论不行，看下面一道题：
【POJ 3585】Accumulation Degree
题意
- 在树上求最大流问题：选一个点作为源点，度数为 \(0\) 的点（叶子）作为汇点。
- 问选取哪个点做源点可以获得最大流量？
题解
最朴素的方法，便是枚举所有点作为源点（树的根），将其转化为有根树进行求解。
不难发现，在有根树中每个结点的流域就是它的子树，因此我们处理出一个数组 \(D[s]\)，表示以 \(s\) 为根的子树中，把 \(s\) 作为源点，从 \(s\) 出发流向子树的流量最大是什么：
\(D[x]=\sum_{y\in son(x)}\left\{\begin{aligned} min(D[y],c(x,y))\ \ deg[y]>1 \\ c(x,y)\ \ deg[y]=1 \end{aligned}\right.\)
很好理解，只需要考虑儿子是不是汇点即可。
然后我们需要根据维护出的东西进行最后的答案求解（在思考的时候就应该明白我处理出 \(D\) 数组的目的是什么，对我的有什么用没用写它干啥）
显然的，我们把答案存在 \(f\) 数组里，其中 \(f[x]\) 表示 以 \(x\) 作为源点，向整个“无根树”的最大流量是多少
不难发现，根据我们所维护的 \(D\) 数组可以进行 \(f\) 的处理
由于便利是从上到下的，将问题缩放，假设已经处理出了 \(f[x]\) ， 如何得到 $f[y] $ ？
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把 \(f[y]\) 分成两部分：
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一部分为流向自己的子树，这个我们已经处理出
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另一部分为流向他的父亲：由于 \(x\) 到 \(y\) 的流量为 \(min(c(x,y),D[y])\) ，这一部分的流量即 \(F[x]-min(c(x,y),D[y])\)
所以不难推出递推式：
\(F[y]=D[y]+\left\{\begin{aligned} min(F[x]-min(c(x,y),D[y]),c(x,y))\ \ deg[x]>1 \\ c(x,y)\ \ deg[x]=1\end{aligned} \right.\)
显然地，\(f[root]=d[root]\)
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 2e5 + 100;
#define LL long long
struct edge{
int to,nxt;
}e[maxn<<1];
int val[maxn<<1];
int T,n,deg[maxn],f[maxn],d[maxn];
int head[maxn],cnt=0;
inline void link(int u,int v,int w){
e[++cnt].to=v;e[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;val[cnt]=w;
}
inline void clear(){
for(int i=1;i<=cnt;i++)e[i].to=e[i].nxt=0;
cnt=0;
memset(val,0,sizeof val);
memset(f,0,sizeof f);
memset(d,0,sizeof d);
memset(head,0,sizeof head);
memset(deg,0,sizeof deg);
}
void dp(int u,int fa){
//cerr<<"@"<<endl;//
for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].to;
if(v==fa)continue;
dp(v,u);
if(deg[v]>1)d[u]+=min(d[v],val[i]);
else d[u]+=val[i];
}
}
void dfs(int u,int fa){
for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].to;
if(v==fa)continue;
if(deg[u]>1){
f[v]=d[v]+min(f[u]-min(val[i],d[v]),val[i]);
}
else f[v]=d[v]+val[i];
dfs(v,u);
}
}
void solve(){
int rt=1;
//for(int i=1;i<=n;i++)printf("deg[%d]: %d\n",i,deg[i]);
dp(rt,0);
f[rt]=d[rt];
//for(int i=1;i<=n;i++)printf("d[%d]: %d\n",i,d[i]);//
dfs(rt,0);
//for(int i=1;i<=n;i++)printf("f[%d]: %d\n",i,f[i]);//
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,f[i]);
printf("%d\n",ans);
}
int main(){
//freopen("1.in","r",stdin);
//freopen("1.out","w",stdout);
scanf("%d",&T);
while(T--){
clear();
scanf("%d",&n);
for(int i=1,u,v,w;i<n;i++){
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
link(u,v,w);link(v,u,w);
deg[u]++;deg[v]++;
}
solve();
}
return 0;
}
总结
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二次扫描与换根法经常用来解决 不定根问题
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它可以通过两次 \(dfs\) 扫描将 所有子树 的答案处理出来
