[总结] 组合数学入门（2）

此篇文章参考于数学竞赛小丛书 《组合数学》

加法原理和乘法原理

一切排列组合的基础。

• 加法原理：把子集求和

• 乘法原理：把分步情况归一

无重复的排列与组合

排列（考虑顺序）

从 \(n\) 个元素中选出 \(m\) 个元素构成排列的方案数，用 \(A_n^m\) 表示：

\(A_n^m=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}\)

• 约定 \(0!=1\)

• 特别地， \(n=m\) 时， \(A_n^m=n!\)，也是 \(1-n\) 的全排列

组合（不考虑顺序）

从 \(n\) 个元素中选出 \(m\) 个元素构成一组的方案数，用 \(C_n^m\) 表示：

\(C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)

可重复的排列和组合

可重复的排列

\(n^m\)

可重复的组合

从 \(n\) 个不同元素中取 \(m\) 个元素（同一元素允许重复取出）并成一组，叫做从 \(n\) 个不同元素中取 \(m\) 个元素的可重复组合，这种组合的个数为 \(C_{n+m-1}^{m}\)。

• 证明

把 \(m\) 个元素分别加上 \(1,2,3,\cdots,m\)，那么问题就相当于从 \(n+m-1\) 个元素中选 \(m\) 个元素的组合数。

不全相异元素的全排列

如果 \(n\) 个元素中，分别有 \(n_1,n_2,n_3,\cdots,n_k\) 个元素相同，且他们的和等于 \(n\)，这 \(n\) 个元素的全排列称为不全相异元素的全排列。

\(f=\left(\begin{matrix} n\\ n_1,n_2,\cdots,n_k\end{matrix} \right)=\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}\)

多组组合

把 \(n\) 个相异元素分为 \(k \ (k<=n)\) 个按照一定顺序排列的组，其中第 \(i\) 组有 \(n_i\) 个元素，不同的分组方法为 \(\frac{n!}{n1_!n_2!\cdots n_k!}\)

• 证明

运用乘法原理不难证明。