[总结] （扩展）欧拉定理

欧拉定理

• 若 \(gcd(a,b)=1\)，则 \(a^{\varphi(m)}\equiv 1 \ (mod \ \ m)\)

扩展欧拉定理

• 只能在指数比 \(\varphi(p)\) 大的时候使用（下面第三个）

内容：

• $ a^b\equiv\left{\begin{array}{rcl}
  a^{b \ mod \ \varphi(p)} & &{gcd(a,p)=1}\
  a^b, & & {gcd(a,p)\not = 1}\
  a^{b \ mod \ \varphi(p) +\varphi(p) }& &{gcd(a,p)\not=1} \end{array}\right. \pmod{p}$

只需要记住两点

• 指数比 \(\varphi(p)\) 大的时候就加上 \(\varphi(p)\)

• 注意互质和不互质的情况

下面是模板部分

P5091 【模板】扩展欧拉定理

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#define int long long
using namespace std;
int a,m,b;
char c;
int make_phi(int x){
	int phi=x;
	int t=(int)sqrt(x+0.5);
	for(int i=2;i<=t;i++){
		if(x%i==0){
			phi=phi-phi/i;
			while(x%i==0){
				x/=i;
			}
		}
	}
	if(x>1){
		phi=phi-phi/x;
	}
	return phi;
}
int power(int a,int b){
	int res=1;
	while(b){
		if(b&1)res=1LL*res*a%m;
		a=1LL*a*a%m;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
signed main(){
	scanf("%lld%lld",&a,&m);
	int tmp=m,phi=m;
	////////
	int phi_m=make_phi(m);
	while(!isdigit(c))c=getchar();
	bool fl=false;
	while(isdigit(c)){
		b=b*10LL+c-'0';
		if(b>=phi_m){
			fl=true;
			b%=phi_m;
		}
		c=getchar();
	}
	if(fl){
		b+=phi_m;//如果指数≥phi，需要加上phi 
	}
	printf("%lld",power(a,b));
	return 0;
}