[组合数学] 组合数学入门

计数方法策略

介绍完两个概念，现在我来介绍10个计数方法策略：

1.特殊元素和特殊位置优先策略

例题：

由0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数。

题解：

由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。

首先考虑末位：1，3，5为奇数，我们要从中选出来一个方案数为C13。

然后考虑首位：0不能作为首位，所以首位的方案数为C14。

最后考虑中间三位：已经拿走了2个数，还有4个数，从这4个数中选出3个数，方案数为A34。

根据乘法原理统计答案为：C13×C14×A34=288。

练习题：

用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？

题解：

共有C15×A29种偶数，再减去首位为0的情况，为C14×C14，注意0在首位，末尾就不能为0，所以为C14。

根据乘法原理统计答案为：C15×A29−C14×C18=328。

2.相邻元素捆绑策略
例题：

7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法。

题解：

我们可以先将甲乙，丙丁分别看成是一个人，这时候的方案数为A55。

然后在考虑甲乙，丙丁内部的方案数，各为A22。

根据乘法原理统计答案为：(A55×A22)2=480。

练习题：

记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，求不同排法的数量。

题解：

还是将这两个老人捆绑在一起。

先考虑五名志愿者所能组成的排列数为A55。

考虑老人不排能在两端，那么我们可以看成将这2个老人所组成的整体插入这5名志愿者所组成的4个间隙，方案数为C14。

然后再考虑这两个老人内部的方案数为A22。

根据乘法原理统计答案为：A55×C14×A22=960。

3.不相邻插空策略
例题：

一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？

题解：

分两步计算：

首先，2个相声和3个独唱共有A55种方案数。

然后我们可以将这4个舞蹈不能连续出场看成将它们插入2个相声和3个独唱所产生的6个间隙中，方案数为A46。

根据乘法原理统计答案为：A55×A46=43200。

提示：不相邻计数通常使用插空法。

4.定序问题倍缩空位插入策略（倍缩法）
例题：

7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定，共有多少不同的排法。

解释一下题意，“甲乙丙3人顺序一定”表示甲在乙前，乙在丙前，不需要连续。

题解：

先不考虑这三个人的顺序则有A77种排法。

然后考虑我们再除这三个人所能组成的A33种排法。

根据乘法原理统计答案为：A77A33=A47=840。

5.排列问题求幂策略
例题：

把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法。

题解：

这道题的特点为：每个实习生的分配对下一个实习生的分配没有任何影响，每个人都有7个车间可选，答案即为76。

6.环排问题线排策略
例题：

8人围桌而坐,共有多少种坐法?

题解：

这道题与坐成一排的区别在于坐成一圈没有首尾之分。

那么我们可以将这道题理解为：先固定一个人，然后让剩下的7个人随便坐即可。

答案为A77=5040。

提示1：一般地，n个不同元素作圆形排列，共有(n−1)!种排法。

提示2：如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列，共有Amnm种排法。

7.多排问题直排策略
例题：

8人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法。

题解：

我们现将这个问题转化为8个人做成一排，甲乙坐在前四个座位，丙坐在后四个座位。

前排有两个特殊元素，方案数为A24。

后排有一个特殊位置，方案数为A14。

剩下5个人坐在剩下5个座位，方案数位A55。

根据乘法原理统计答案为：A24×A14×A55=5760。

8.排列组合混合问题先选后排策略
例题：

有5个不同的小球,装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，求共有多少不同的装法。

题解：

依然是分两步处理：

1.从5个球中选出2个组成复合元共有C25种方法。

2.把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有A44种方法。

根据乘法原理统计答案为：C25×A44=240。

那么，有的同学可能会有这样的思路：

首先，从5个球中选取4个共有A45种方法。

然后将最后一个球放进这四个盒中的其中一个，共有C14。

然后根据乘法原理统计答案为：A45×C14=480。

为什么答案会是2倍呢？

这么考虑一下，我们先将1，2，3，4这4个球依次放进1，2，3，4这四个盒子，然后再将5号球放进1号盒子；然后下次再将5，2，3，4这4个球依次放进1，2，3，4这四个盒子，然后将1号球放进1号盒子，这两种情况是一样的，但是我们重复统计了，所以再将答案除2即为得数。

9.平均分组问题除法策略
例题：

6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法。

题解：

分三步拿书：

先从6本书中拿出2本，共有C26种方法。

然后从剩下4本书中拿出2本，共有C24种方法。

最后拿走剩下两本，共有C22种方法。

然而每种方案又被计算了A33次，所以要除掉。

根据乘法原理统计答案为：C26×C24×C22A33=15。

10.重排列
例题：

由四面红旗，三面蓝旗，二面黄旗，五面绿旗排成的一排彩旗有多少种？

题解：

首先，不去考虑旗子的颜色，单纯去考虑14面彩旗所能组成的方案数共有A1414种。

然后依次考虑四面红旗会被重复统计A44次，三面蓝旗会被重复统计A33次，二面黄旗会被重复统计A22次，五面绿旗会被重复统计A55次。

根据乘法原理统计答案为：A1414/(A44×A33×A22×A55)=2522520。

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常用结论

现在介绍完了这10种技术方法策略，我们在来介绍两个比较常用的结论：

1.将一个长度为n的序列划分成m段非空子串的方案数为Cm−1n−1。

　相当于在n−1个空位中选择m−1个插入隔板的方案数 。

2.将一个长度为n个序列划分成m段可空子串的方案数为Cm−1m+n−1。

　相当于在m+n−1个位置中选择m−1个作为隔板的方案