2024.2.20闲话——luogu5021随机选取边的正确性

推歌：生きる (feat. 可不)——水野あつ

这首歌听完之后接着转去咖喱乌冬了，歌词甚至能接上，没绷住。

刚刚写证明中间把 wxy 的杯子碰倒洒键盘上了，抢救键盘的过程中碰到缝就有水，有点涩。
但是这个键盘里面怎么这么脏啊？

下面来证 luogu5021 在菊花树中以任何顺序选取边并采取贪心策略的正确性。

觉得昨天写的不大对，所以更新一下，重新写了一份。

我们假设随机顺序选择然后采取贪心策略是错误的。

那么从此局面出发将已匹配的一定可以到达正确的局面。

我们可以交换两条已匹配的边和一条未匹配的边和一条已匹配的边。

前者交换之后对结果无影响，后者交换后一定不如交换前，因为交换前按照贪心策略选择的最佳的方案，设选取的边为 \(x\)，贪心策略匹配的边为 \(y\)，则不存在交换 \(y\) 使得匹配边数比交换前优的边。如果要交换 \(x\) 可以使得 \(x\) 匹配其他的边的话，那么按照贪心策略 \(x\) 之后匹配的边长度应更大，不会比交换前优，所以无论怎么选，采取贪心策略都是最优的。