dfs序求lca的讲解、相关常见错误及相关问题
本文暂时弃坑，以后会重构。
本文主要是用于警示自己避免犯错。
相关博客
最近公共祖先 | st 表求 lca 别用欧拉序了！！！
冷门科技 —— DFS 序求 LCA
算法讲解
这是以节点 \(1\) 为根节点的一棵树
我们在根节点进行 dfs，在 dfs 的开始将到达的节点加入一个序列的末尾中，就得到了所有节点拼成的一个序列，这个序列就是 dfs 序，节点在 dfs 序中的位置被称为节点的 \(dfn\) 值。
对这颗树进行 dfs，可求得它的 dfs 序为 \(1\),\(2\),\(4\),\(5\),\(3\),\(6\)（dfs 序不唯一，也可能为\(1\),\(2\),\(5\),\(4\),\(3\),\(6\)）。节点 \(1\) 到 \(6\) 的 \(dfn\) 值分别为 \(1\),\(2\),\(5\),\(3\),\(4\),\(6\)。
得到这个序列有啥用呢？如何求两个节点的 lca？
我们可以观察到某节点的祖先在 dfs 序中一定在该节点的前面，以某节点为根节点的子树的所有子节点（即除根节点外的所有节点）都在根节点的后面。所以不能直接在节点 \(u\) 和节点 \(v\) 之间找一个节点作为它们的 lca。
我们来分类讨论，从一个简单的情况切入这个问题。
（下面的讨论默认 \(dfn_u\)<=\(dfn_v\)）
- \(u\) 为 \(v\) 的祖先。
还是以上面那个图为例。
我们要找 \(1\) 和 \(4\) 的 lca，显然 lca 为 \(1\)。
观察从 \(1\) 到 \(4\) 的 dfs 序，可以发现整个序列都是在 根节点为 \(1\) 的子树上进行的，一定经过 \(1\) 的子节点才到达 \(4\)。
难道是直接返回从 \(1\) 到 \(4\) 中深度最小的节点吗？
由前面的性质可知某节点的祖先在 dfs 序中一定在该节点的前面，万一 \(u\) 不是 \(v\) 的祖先，这个方法就完全错了。
我们再回去观察一下。
从 \(1\) 到 \(4\) 经过了 \(1\) 的孩子，也经过了 \(4\) 的祖先，\(1\) 和 \(4\) 的 lca 一定是 \(4\) 的祖先，那我们找到 \(4\) 的祖先中除去 \(1\) 深度最小的那一个的父节点是不是就是 lca？
参考代码
dfs 序求 lca 的参考代码如下。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=5e5+10,MAXLOG2N=20;
int N,M,S,cnt,head[MAXN],dfn[MAXN],dfncnt,stlca[MAXLOG2N][MAXN],LOG2[MAXN],deep[MAXN],anc[MAXN];
struct EDGE
{
int v,nxt;
}edge[MAXN<<1];
void add(int u,int v)
{
++cnt;
edge[cnt].v=v;
edge[cnt].nxt=head[u];
head[u]=cnt;
}
void dfs(int u)
{
stlca[0][dfn[u]=++dfncnt]=u;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)
{
int v=edge[i].v;
if(v!=anc[u]){anc[v]=u;deep[v]=deep[u]+1;dfs(v);}
}
}
int deepget(int u,int v)//得到深度浅的节点
{
return deep[u]<deep[v]?u:v;
}
void stlca_init()
{
//求解log2部分
for(int i=2;i<=N;++i){LOG2[i]=LOG2[i>>1]+1;}
//建ST表部分
for(int j=1;(1<<j)<=N;++j)
{
int temp=N-(1<<j)+1;
for(int i=1;i<=temp;++i)
{
stlca[j][i]=deepget(stlca[j-1][i],stlca[j-1][i+(1<<(j-1))]);
}
}
}
int lca(int u,int v)
{
if(u==v)return u;
if(dfn[u]>dfn[v])swap(u,v);//保持dfn[u]<dfn[v]
int k=LOG2[dfn[v]-dfn[u]];
int lcason=deepget(stlca[k][dfn[u]+1],stlca[k][dfn[v]-(1<<k)+1]);
return anc[lcason];
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
cin>>N>>M>>S;
for(int i=1;i<N;++i)
{
int x,y;cin>>x>>y;
add(x,y);
add(y,x);
}
deep[S]=1;//根节点深度为1好看
dfs(S);
stlca_init();
while(M--)
{
int a,b;cin>>a>>b;
cout<<lca(a,b)<<'\n';
}
return 0;
}
常见错误
- 无向边存储时少一次变成有向边。
太（）（）了。
- dfs 过程中忘记添加祖先及深度的记录。
void dfs(int u)
{
stlca[0][dfn[u]=++dfncnt]=u;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)
{
int v=edge[i].v;
if(v!=anc[u])dfs(v);
}
}
这都能写错？？？
- 查找深度小的节点的函数写错。
int deepget(int u,int v)//得到深度浅的节点
{
return dfn[u]<dfn[v]?u:v;
}
我晕。
- ST 表建表写错
for(int j=1;(1<<j)<=N;++j)
{
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=N;++i)
{
stlca[j][i]=deepget(stlca[j-1][i],stlca[j-1][i+(1<<j/*应为1<<(j-1)!*/)]);
}
}
我怎么会在前面的 log 下标填
j-1后填了个i+(1<<j)。
- lca 求解过程中忘了写
u==v的情况。 - lca 求解过程中忘了将 \(dfn\) 较大的 \(u\) 与 \(v\) 交换。
这两种情况倒是没写错过，不过以防万一还是加上。
- 直接把 lcason 返回。
st 表求的是 dfs 序中 \(u\) 所在位置加上 \(1\) 到 \(v\) 的位置中的深度最小的节点，并不是 lca，而是 lca 的孩子。
- 左移与加法运算的时候不加括号。
stlca[j][i]=deepget(stlca[j-1][i],stlca[j-1][i+1<<(j-1)]);
左移的优先级小于加法，不加括号导致运算的顺序错误，建议多加括号保险
一些问题
- 我的 \(k\) 在求解过程中写错了，原本应该是下面的代码的前者（
dfn[u]+1到dfn[v]这个序列的长度），却写成了后者（序列长度减去 \(1\)），但是没有被 hack 掉，是怎么回事？
int k=LOG2[dfn[v]-dfn[u]];//前者
int k=LOG2[dfn[v]-(dfn[u]+1)];//后者
可以看出这两种写法有区别当且仅当
dfn[v]-dfn[u]为 \(2\) 的倍数。
此时两种写法虽然 log 下标不同，但可以看出其覆盖范围是相同的。
看的出来，后者写法的两段区间刚好无缝衔接（衔接的两个端点差为 \(1\)），所以两种写法的输出都是正确的。
后言
写的可能不是很完整，以后可能补充。
