WC2018 州区划分

题目描述：

luogu

题解：

设$f[S]$表示选集合$S$时所有满意度乘积之和，$W[S]$表示集合$S$中选中的$w$之和。显然有这样一个式子：$$f[S]= \frac{1}{W[S]^p} \sum\limits_{T \subseteq S}f[T]*W[S-T]^p*[check(S-T)]$$

后面$check$的意思是判断$S-T$是否合法。

原题义中不合法的条件是存在一条欧拉回路。那么：

• 若图不连通则不存在。
• 若一个点的度数是奇数则不存在
• 单个点一定存在

这样可以$O(2^nn^2)$处理出$check$。然后就是子集卷积了。

时间复杂度$O(2^nn^2)$。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 25;
const int M = (1<<21)+20;
const int MOD = 998244353;
template<typename T>
inline void read(T&x)
{
    T f = 1,c = 0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){c=c*10+ch-'0';ch=getchar();}
    x = f*c;
}
template<typename T>inline void Mod(T&x){if(x>=MOD)x-=MOD;}
int fastpow(int x,int y)
{
    int ret = 1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=1ll*ret*x%MOD;
        x=1ll*x*x%MOD;y>>=1;
    }
    return ret;
}
int inv(int x){return fastpow(x,MOD-2);}
int n,m,p,mp[N],lg[M],cnt[M],w[N],W[M],Wp[M],iWp[M],f[N][M],g[N][M],h[M];
void fwt(int*a,const int len,const int k)
{
    for(int i=1;i<len;i<<=1)
        for(int j=0;j<len;j+=(i<<1))
            for(int o=0;o<i;o++)
            {
                if(k==1)Mod(a[j+o+i]+=a[j+o]);
                else Mod(a[j+o+i]+=MOD-a[j+o]);
            }
}
int ff[N],d[N];
int findff(int x){return x==ff[x]?x:ff[x]=findff(ff[x]);}
int main()
{
    read(n),read(m),read(p);
    for(int i=2;i<=(1<<n);i<<=1)lg[i]=lg[i>>1]+1;
    for(int i=1;i<(1<<n);i++)cnt[i]=cnt[i-(i&-i)]+1;
    for(int u,v,i=1;i<=m;i++)
    {
        read(u),read(v);u--,v--;
        mp[u]|=(1<<v),mp[v]|=(1<<u);
    }
    for(int i=0;i<n;i++)read(w[i]);
    for(int i=1;i<(1<<n);i++)
    {
        for(int j=0;j<n;j++)ff[j]=j;
        for(int j=0;j<n;j++)d[j]=((i>>j)&1)?(mp[j]&i):0;
        for(int j=0;j<n;j++)if(d[j])
        {
            int now = d[j];
            while(now)
                ff[findff(lg[now&-now])]=findff(j),now-=now&-now;
        }
        bool FG = 0;int x = lg[i&-i];
        for(int j=0;j<n;j++)if((i>>j)&1)if(cnt[d[j]]&1)FG=1;
        for(int j=0;j<n;j++)if((i>>j)&1)if(findff(j)!=findff(x))FG=1;
        if(cnt[i]==1)FG = 0;
        Mod(W[i] = W[i-(i&-i)]+w[lg[i&-i]]),Wp[i]=fastpow(W[i],p);iWp[i] = inv(Wp[i]);
        if(FG)g[cnt[i]][i] = Wp[i];
    }
    f[0][0] = 1;int len = (1<<n);
    fwt(f[0],len,1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        fwt(g[i],len,1);
        for(int j=1;j<=i;j++)
            for(int k=0;k<len;k++)
                Mod(h[k]+=1ll*f[i-j][k]*g[j][k]%MOD);
        fwt(h,len,-1);
        for(int j=0;j<len;j++)f[i][j]=1ll*h[j]*iWp[j]%MOD,h[j]=0;
        if(i!=n)fwt(f[i],len,1);
    }
    printf("%d\n",f[n][len-1]);
    return 0;
}