CF914G Sum the Fibonacci

题目描述：

luogu

题解：

FST+FWT。

FWT_OR+FWT_XOR+FWT_AND=快乐。

首先对于这个式子来说，第一部分是个子集卷积，后面都可以用FWT做。

学了一下FST，它的原理基本是这样的：

子集卷积即$f[i]=\sum\limits_{j \subseteq i}g[j]*h[i-j]$，看起来很像FWT_OR但是有另外条件，即$j\&(i-j)=0$。

vfk爷的论文中提到过一种方法，多加一维去除非法情况。

设$cnt[i]$表示$i$的二进制表示中$1$的个数，那么原来的$f[i]$变为$f[cnt[i]][i]$，

原式变为$f[cnt[i]][i] = \sum\limits_{j \subseteq i} g[cnt[j]][j] * h[cnt[i-j]][i-j]$。

（对于$f[i][j]$，只有当$i=cnt[j]$时才可能有值）

这时我们对于所有$f[i]$做FWT_OR，这样的话每一位上的值是$F[i][j] = \sum\limits_{k \subseteq j} f[i][k]$。

然后直接$F[i][j] = \sum\limits_{k <= i} G[k][j] * H[i-k][j]$。

最后逆变换回去就是$f[i][j]$了。

 

注意$i<2^{17}$可能会有$17$个$1$。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1000050;
const int M = (1<<17)+50;
const int MOD = 1000000007;
const int inv_2 = (MOD+1)/2;
template<typename T>
inline void read(T&x)
{
    T f = 1,c = 0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){c=c*10+ch-'0';ch=getchar();}
    x = f*c;
}
template<typename T>inline void Mod(T&x){if(x>=MOD)x-=MOD;}
int n,len=1<<17,s[M],a[M],b[M],c[M],d[20][M],e[20][M],f[M],cnt[M];
void fwt_xor(int*a,int len,int k)
{
    for(int i=1;i<len;i<<=1)
        for(int j=0;j<len;j+=(i<<1))
            for(int o=0;o<i;o++)
            {
                int w1 = a[j+o],w2 = a[j+o+i];
                Mod(a[j+o] = w1+w2),Mod(a[j+o+i] = w1+MOD-w2);
                if(k==-1)a[j+o]=1ll*a[j+o]*inv_2%MOD,a[j+o+i]=1ll*a[j+o+i]*inv_2%MOD;
            }
}
void fwt_or(int*a,int len,int k)
{
    for(int i=1;i<len;i<<=1)
        for(int j=0;j<len;j+=(i<<1))
            for(int o=0;o<i;o++)
            {
                if(k==1)Mod(a[j+o+i]+=a[j+o]);
                else Mod(a[j+o+i]+=MOD-a[j+o]);
            }
}
void fwt_and(int*a,int len,int k)
{
    for(int i=1;i<len;i<<=1)
        for(int j=0;j<len;j+=(i<<1))
            for(int o=0;o<i;o++)
            {
                if(k==1)Mod(a[j+o]+=a[j+o+i]);
                else Mod(a[j+o]+=MOD-a[j+o+i]);
            }
}
int main()
{
    freopen("tt.in","r",stdin);
    read(n);
    for(int x,i=1;i<=n;i++)
        read(x),s[x]++;
    for(int i=1;i<len;i++)
        cnt[i]=cnt[i-(i&-i)]+1;
    f[1] = 1;
    for(int i=2;i<len;i++)
        Mod(f[i] = f[i-1]+f[i-2]);
    for(int i=0;i<len;i++)
        d[cnt[i]][i] = s[i];
    for(int i=0;i<=17;i++)
        fwt_or(d[i],len,1);
    for(int i=0;i<=17;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
            for(int k=0;k<len;k++)
                Mod(e[i][k]+=1ll*d[j][k]*d[i-j][k]%MOD);
    for(int i=0;i<=17;i++)
        fwt_or(e[i],len,-1);
    for(int i=0;i<len;i++)
        a[i] = 1ll*e[cnt[i]][i]*f[i]%MOD;
    for(int i=0;i<len;i++)
        b[i] = 1ll*s[i]*f[i]%MOD;
    fwt_xor(s,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++)
        c[i] = 1ll*s[i]*s[i]%MOD;
    fwt_xor(c,len,-1);
    for(int i=0;i<len;i++)
        c[i] = 1ll*c[i]*f[i]%MOD;
    fwt_and(a,len,1),fwt_and(b,len,1),fwt_and(c,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++)
        a[i] = 1ll*a[i]*b[i]%MOD*c[i]%MOD;
    fwt_and(a,len,-1);
    int ans = 0;
    for(int i=1;i<len;i<<=1)
        Mod(ans+=a[i]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}