bzoj3677 [Apio2014]连珠线

题目描述：

（题面有坑，概括一下：）

给出一棵$n$个点的无根树，每条边有价值。对于一个根，你可以令父节点-当前节点-子节点这两条边变成蓝色边。选一个点作根的价值是蓝色边边权之和，求最大价值。

bz

luogu

题解：

树上换根dp。

设状态$w[u][0/1]$表示选择一个根后，点$u$不是/是“当前节点”时，子树的最大价值。

（转移有点长，请忽略无效细节谨慎食用）

首先有$w[u][0]=\sum\limits _{fa[v]=u} max(w[v][0],w[v][1]+val(u,v))$，

当点$u$是叶子结点时$w[u][1]=- \infty$；

不是的话，设$k[v]$表示在$w[u][0]$状态下，将点$u$的父节点、点$u$和点$v$染成蓝色的最大价值，有：

$w[v][0]>w[v][1]+val(u,v)$，$v$和$u$之间没有蓝边，那么$k[v]=val(u,v)$；

$w[v][0]<=w[v][1]+val(u,v)$，$v$和$u$以及$v$的儿子有蓝边，那么需要把$v$的状态改成$w[v][0]$，即$k[v]=w[v][0]-w[v][1]$；

那么$w[u][1]=w[u][0]+ max_{fa[v]=u} k[v]$。

 

换根过程模拟子节点对父节点贡献的变化。

把当前根$u$的儿子$v$换上去的话，先考虑$u$的减少。

最开始我们有：

$w[u][0]=\sum\limits _{fa[v]=u} max(w[v][0],w[v][1]+val(u,v))$

$w[u][1]=w[u][0] + max_{fa[v]=u} k[v]$

对于$w[u][0]$，直接减那个东西（你们一定知道我说的是什么）。

对于$w[u][1]$，先减掉那个东西（还是那个东西），之后考虑最大值。若当前$v$的贡献为最大值，那么将那一项换成次大值。

对于$w[v][0]$，直接加那个东西（是$u$的那个东西）。

对于$w[v][1]$，预先求出$tmp=w[v][1]-w[v][0]$，此时$tmp$是上面转移式中的$max$一项。

用$u$的新贡献去更新$max$值即可。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 200050;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
template<typename T>
inline void read(T&x)
{
    T f = 1,c = 0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){c=c*10+ch-'0';ch=getchar();}
    x = f*c;
}
int n,hed[N],cnt;
struct EG
{
    int to,nxt,w;
}e[N<<1];
void ae(int f,int t,int w)
{
    e[++cnt].to = t;
    e[cnt].nxt = hed[f];
    e[cnt].w = w;
    hed[f] = cnt;
}
int w[N][2],s1[N],ans;
int t1;
void dfs0(int u,int fa)
{
    w[u][0] = 0,w[u][1] = -inf;
    for(register int j=hed[u],to;j;j=e[j].nxt)
        if((to=e[j].to)!=fa)
            dfs0(to,u);
    int k1 = -inf,tmp = 0;
    for(register int j=hed[u],to;j;j=e[j].nxt)
        if((to=e[j].to)!=fa)
        {
            tmp+=max(w[to][0],w[to][1]+e[j].w);
            if(w[to][0]>w[to][1]+e[j].w)k1=max(k1,e[j].w);
            else k1=max(k1,w[to][0]-w[to][1]);
        }
    w[u][0] = tmp;
    if(k1!=-inf)w[u][1]=tmp+k1;
}
void dfs1(int u,int fa)
{
    ans = max(ans,w[u][0]);
    int w0 = w[u][0],w1 = w[u][1];
    int k1 = -inf,k2 = -inf;int son = -1;
    for(register int j=hed[u];j;j=e[j].nxt)
    {
        int to = e[j].to;
        int now = (w[to][0]>w[to][1]+e[j].w)?e[j].w:w[to][0]-w[to][1];
        if(now>=k1)k2=k1,k1=now,son=to;
        else if(now>k2)k2=now;
    }
    for(register int j=hed[u],to;j;j=e[j].nxt)
        if((to=e[j].to)!=fa)
        {
            int W0 = w[to][0],W1 = w[to][1];
            
            int tmp = max(w[to][0],w[to][1]+e[j].w);
            w[u][0]-=tmp,w[u][1]-=tmp;
            if(to==son)w[u][1]=(k2==-inf)?k2:w[u][1]+k2-k1;
            
            tmp = max(w[u][0],w[u][1]+e[j].w);
            int dlt = w[to][1]-w[to][0],now = (w[u][0]>w[u][1]+e[j].w)?e[j].w:w[u][0]-w[u][1];
            w[to][0]+=tmp;dlt = max(dlt,now);
            w[to][1] = w[to][0]+dlt;
            
            dfs1(to,u);
            w[to][0] = W0,w[to][1] = W1;
            w[u][0] = w0,w[u][1] = w1;
        }
}
int main()
{
    read(n);
    for(int u,v,k,i=1;i<n;i++)
    {
        read(u),read(v),read(k);
        ae(u,v,k),ae(v,u,k);
    }
    dfs0(1,0),dfs1(1,0);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}