【模板】拓展卢卡斯
粘代码:
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#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; template<typename T> inline void read(T&x) { T f = 1,c = 0;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){c=c*10+ch-'0';ch=getchar();} x = f*c; } ll n,m,P; ll fastpow(ll x,ll y,ll MOD) { ll ret = 1; while(y) { if(y&1)ret=ret*x%MOD; x=x*x%MOD;y>>=1; } return ret; } void exgcd(ll a,ll b,ll&x,ll&y) { if(!b){x=1,y=0;return ;} exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x; } ll inv(ll a,ll MOD){ll x,y;exgcd(a,MOD,x,y);return (x%MOD+MOD)%MOD;} ll p[30],pk[30],pnt,f[30][1000050]; ll jc[1000050],jny[1000050]; void init() { ll now = P; for(ll i=2;i*i<=now;i++)if(now%i==0) { p[++pnt]=i,pk[pnt]=1; while(now%i==0)now/=i,pk[pnt]*=i; } if(now!=1) { p[++pnt]=now,pk[pnt]=now; } if(p[1]==MOD) { jc[0] = 1; for(ll i=1;i<P;i++)jc[i]=jc[i-1]*i%P; jny[P-1] = inv(jc[P-1],P); for(ll i=P-1;i;i--)jny[i-1]=jny[i]*i%P; return ; } for(ll i=1;i<=pnt;i++) { f[i][0]=1; for(ll j=1;j<pk[i];j++) if(j%p[i])f[i][j]=f[i][j-1]*j%pk[i]; else f[i][j]=f[i][j-1]; } } ll calp(ll x,ll P){ll ret=0;for(x/=P;x;x/=P)ret+=x;return ret;} ll calc(ll x,ll i) { if(!x)return 1; return fastpow(f[i][pk[i]-1],x/pk[i],pk[i])*f[i][x%pk[i]]%pk[i]*calc(x/p[i],i); } ll Lucas(ll x,ll y) { if(x<y)return 0; if(x<P)return jc[x]*jny[y]%P*jny[x-y]%P; return Lucas(x/P,y/P)*Lucas(x%P,y%P)%P; } ll eLucas(ll x,ll y,int i) { ll k = calp(x,p[i])-calp(y,p[i])-calp(x-y,p[i]); return fastpow(p[i],k,pk[i]) *calc(x,i)%pk[i] *inv(calc(y,i),pk[i])%pk[i] *inv(calc(x-y,i),pk[i])%pk[i]; } ll ExLucas(ll x,ll y) { if(p[1]==MOD)return Lucas(x,y); ll ans = 0; for(ll i=1;i<=pnt;i++) ans= (ans + eLucas(x,y,i) * (P/pk[i])% P * inv(P/pk[i],pk[i]) % P)%P; return ans; } int main() { read(n),read(m),read(P); init(); printf("%lld\n",ExLucas(n,m)); return 0; }
upd:有一个地方:
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ll calc(ll x,ll i) { if(!x)return 1; return fastpow(f[i][pk[i]-1],x/pk[i],pk[i])*f[i][x%pk[i]]%pk[i]*calc(x/p[i],i); }
他可以这样变强:
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ll mul(ll x,int i) { if(!x)return 1;ll bas = pk[i]-1; if(p[i]==2)bas=(pk[i]==4)?3:1; return 1ll*fastpow(bas,x/pk[i],pk[i])*f[i][x%pk[i]]%pk[i]*mul(x/p[i],i)%pk[i]; }
所以说对于质数$p$($p$不为$2$)与他的整数次幂$pk$存在$\prod _{i=1,i⊥p}^{pk}i ≡ pk-1 \; (mod\;pk)$?
先证一下这个:$$(p-2)!≡1\;(mod\;p)$$
这个可好证了……
先特判$3$时显然成立。
因为$1$的逆元是自己,$-1*-1=1$即$(p-1)*(p-1)≡1\;(mod\;p)$,所以这两个的逆元都是自己。
剩下的$2,3……p-2$共$p-3$个数,在$p$不为$2$时能两两一对组成逆元。
所以这一堆乘一起为$1$。
所以$(p-2)!≡1\;(mod\;p)$。
现在我们来证$\prod _{i=1,i⊥p}^{pk}i ≡ pk-1 \; (mod\;pk)$。
证法和上面那个差不多。
所有$p$的倍数没有逆元,$1$和$pk-1$的逆元是自己,剩下两两配对都是$1$。
upd:刚才证完了非$2$部分,现在来证一下$2$的部分。
刚才的伪证是在只有$1$和$pk-1$的逆元是自己的前提下,而当$p=2$且$k>2$时,$2^{n-1}-1$和$2^{n-1}+1$的逆元也是自己。
很巧的是这四个数乘一起得$1$。
(应该没有其他的锅了吧……)