【模板】动态 DP
最近学了一下动态dp，感觉没有想象的难。
动态DP
simple的DP是这样的：
给棵树，每个点给个权值，求一下最大权独立集。
动态DP是这样的：
给棵树，每个点给个权值还到处改，每次改的时候求一下最大权独立集。
题外话：
（$NOIP2018$保卫王国）
大佬：动态$dp$板子直接秒。
神仙：这个是什么让我想一想……倍增？（然后当场切掉）
除了大佬除了神仙除了我：敲暴力。
我：（看错题了爆蛋）
几个前置知识：
（1）重链剖分
树剖时选择子树点数最多的儿子作重儿子。
重剖有几个性质：
1.终点一定是叶子。（树剖通性）
2.重链剖分序上一条重链是一个连续的区间。（树剖通性）
3.任意一个点走到根经过的轻链不超过$logn$条。（重剖特性）
4.……
（2）矩阵
著名矩乘由于满足结合律可以用来加速递推/分治。
大佬们不知道咋想的就搞出了以下运算：
$$\begin{pmatrix}a00&a01\\a10&a11\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b00&b01\\b10&b11\end{pmatrix} $$
$$=\begin{pmatrix}max(a00+b00,a01+b10)&max(a00+b10,a01+b11)\\max(a10+b00,a11+b10)&max(a10+b01,a11+b11)\end{pmatrix}$$
这个东西竟然满足结合律……
我们可以用他去搞一些事情了。
树的最大权独立集：
设$f[u][0/1]$表示在点$u$不取/取的情况下点$u$子树内的最大权独立集的权值。
有$dp$如下：
$f[u][0]=\sum _{fa[v]=u} max(f[v][0],f[v][1])$
$f[u][1]=w[u] + \sum _{fa[v]=u} f[v][0]$
让轻重儿子分开讨论有：
$f[u][0]= max(f[son][0],f[son][1]) + \sum _{fa[v]=u,v!=son} max(f[v][0],f[v][1])$
$f[u][1]= f[son][0] +w[u]+\sum_{fa[v]=u,v!=son}f[v][0]$
设$g[u][0]=\sum _{fa[v]=u,v!=son} max(f[v][0],f[v][1]),g[u][1]=w[u]+\sum_{fa[v]=u,v!=son}f[v][0]$
写成上面矩阵的形式是这样的：
$f[u][0] = max(g[u][0]+f[son][0],g[u][0]+f[son][1])$
$f[u][1] = max(g[u][1]+f[son][0],-inf+f[son][1])$
就是$$\begin{pmatrix}f[son][0]&f[son][1]\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}g[u][0]&g[u][1]\\g[u][0]&-inf\end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix}f[u][0]&f[u][1]\end{pmatrix}$$
神奇。
考虑到重链剖分序重链上的点是按深度从浅到深排列的，我们应该这样（不然线段树左右要反着合并比较恶心）：
$$\begin{pmatrix}g[u][0]&g[u][0]\\g[u][1]&-inf\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}f[son][0]\\f[son][1]\end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix}f[u][0]\\f[u][1]\end{pmatrix}$$
对于每个点保留带$g$的矩阵，这样一个点的$f$矩阵就是重链上从该点的矩阵一直向下加，加到叶子结点。
区间加法用线段树平衡树等数据结构维护。
每次修改之后，由于只会修改当前点到根路径上的$f$，我们可以爆跳树链。
修改点权，当前树链上只会修改当前点的$g[1]$。
树链之间转移时，考虑轻儿子的$f$对父节点$g$的影响。
我们可以求出修改前后链顶的$f$值，然后扔到原来方程里更新父亲的$g$。
重复上述操作一直更新到根。
由于重剖$logn$条轻链，时间复杂度$O(nlog^2n)$。
代码：
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const int N = 100050; const ll Inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll; template<typename T> inline void read(T&x) { T f = 1,c = 0;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){c=c*10+ch-'0';ch=getchar();} x = f*c; } ll F[N][2],G[N][2],k[N]; int n,m,hed[N],cnt; struct EG { int to,nxt; }e[N<<1]; void ae(int f,int t) { e[++cnt].to = t; e[cnt].nxt = hed[f]; hed[f] = cnt; } int dep[N],siz[N],top[N],pot[N],fa[N],son[N],tin[N],pla[N],tim; struct mt { ll s[2][2]; mt(){memset(s,0,sizeof(s));} mt(ll g0,ll g1){s[0][0]=s[0][1]=g0,s[1][0]=g1,s[1][1]=-Inf;} mt operator + (const mt&a)const { mt ret; ret.s[0][0]=max(s[0][0]+a.s[0][0],s[0][1]+a.s[1][0]); ret.s[0][1]=max(s[0][0]+a.s[0][1],s[0][1]+a.s[1][1]); ret.s[1][0]=max(s[1][0]+a.s[0][0],s[1][1]+a.s[1][0]); ret.s[1][1]=max(s[1][0]+a.s[0][1],s[1][1]+a.s[1][1]); return ret; } }t[N]; struct segtree { mt w[N<<2]; void update(int u){w[u]=w[u<<1]+w[u<<1|1];} void build(int l,int r,int u) { if(l==r){w[u]=t[pla[l]]=mt(G[pla[l]][0],G[pla[l]][1]);return ;} int mid = (l+r)>>1; build(l,mid,u<<1); build(mid+1,r,u<<1|1); update(u); } void insert(int l,int r,int u,int qx) { if(l==r){w[u]=t[pla[l]];return ;} int mid = (l+r)>>1; if(qx<=mid)insert(l,mid,u<<1,qx); else insert(mid+1,r,u<<1|1,qx); update(u); } mt query(int l,int r,int u,int ql,int qr) { if(l==ql&&r==qr)return w[u]; int mid = (l+r)>>1; if(qr<=mid)return query(l,mid,u<<1,ql,qr); else if(ql>mid)return query(mid+1,r,u<<1|1,ql,qr); else return query(l,mid,u<<1,ql,mid)+query(mid+1,r,u<<1|1,mid+1,qr); } }tr; void dfs0(int u,int f) { fa[u] = f,siz[u] = 1,dep[u] = dep[f]+1; for(int j=hed[u];j;j=e[j].nxt) { int to = e[j].to; if(to==f)continue; dfs0(to,u);siz[u]+=siz[to]; if(siz[to]>siz[son[u]])son[u]=to; } } void dfs1(int u,int Top) { top[u] = Top,pot[u] = u,tin[u] = ++tim,pla[tim] = u; if(son[u])dfs1(son[u],Top),pot[u]=pot[son[u]]; for(int j=hed[u];j;j=e[j].nxt) { int to = e[j].to; if(to!=fa[u]&&to!=son[u]) dfs1(to,to); } } void dp(int u) { F[u][0]=0,F[u][1]=k[u]; for(int j=hed[u];j;j=e[j].nxt) { int to = e[j].to; if(to==fa[u])continue; dp(to); F[u][0]+=max(F[to][0],F[to][1]); F[u][1]+=F[to][0]; } G[u][0] = F[u][0] - max(F[son[u]][0],F[son[u]][1]); G[u][1] = F[u][1] - F[son[u]][0]; } mt get_mt(int x){return tr.query(1,n,1,tin[top[x]],tin[pot[x]]);} void chg(int x,int y) { t[x].s[1][0] += y-k[x],k[x] = y; while(x) { mt m0 = get_mt(x); tr.insert(1,n,1,tin[x]); mt m1 = get_mt(x); x = fa[top[x]]; if(!x)break; t[x].s[0][0]+=max(m1.s[0][0],m1.s[1][0])-max(m0.s[0][0],m0.s[1][0]); t[x].s[0][1]=t[x].s[0][0]; t[x].s[1][0]+=m1.s[0][0]-m0.s[0][0]; } } int main() { // freopen("tt.in","r",stdin); read(n),read(m); for(int i=1;i<=n;i++) read(k[i]); for(int u,v,i=1;i<n;i++) read(u),read(v),ae(u,v),ae(v,u); dfs0(1,0),dfs1(1,1); dp(1);tr.build(1,n,1); for(int x,y,i=1;i<=m;i++) { read(x),read(y); chg(x,y);mt now = get_mt(1); printf("%lld\n",max(now.s[0][0],now.s[1][0])); } return 0; }
附保卫王国代码：
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const int N = 100050; const ll inf = 1e16; template<typename T> inline void read(T&x) { T f = 1,c = 0;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){c=c*10+ch-'0';ch=getchar();} x = f*c; } int n,m,hed[N],cnt; ll p[N],F[N][2],G[N][2]; char op[10]; struct EG { int to,nxt; }e[N<<1]; void ae(int f,int t) { e[++cnt].to = t; e[cnt].nxt = hed[f]; hed[f] = cnt; } int dep[N],siz[N],fa[N],son[N],top[N],pot[N],tin[N],pla[N],tim; void dfs0(int u,int f) { fa[u] = f,siz[u] = 1,dep[u] = dep[f]+1; for(int j=hed[u];j;j=e[j].nxt) { int to = e[j].to; if(to==f)continue; dfs0(to,u); siz[u]+=siz[to]; if(siz[to]>siz[son[u]])son[u]=to; } } void dfs1(int u,int Top) { top[u] = Top,tin[u] = ++tim,pla[tim] = u; if(son[u])dfs1(son[u],Top),pot[u]=pot[son[u]]; else pot[u] = u; for(int j=hed[u];j;j=e[j].nxt) { int to = e[j].to; if(to!=fa[u]&&to!=son[u]) dfs1(to,to); } } void dp(int u) { F[u][0] = 0,F[u][1] = p[u]; for(int j=hed[u];j;j=e[j].nxt) { int to = e[j].to; if(to==fa[u])continue; dp(to); F[u][0] += F[to][1]; F[u][1] += min(F[to][0],F[to][1]); } G[u][0] = F[u][0] - F[son[u]][1]; G[u][1] = F[u][1] - min(F[son[u]][0],F[son[u]][1]); } struct mt { ll s[2][2]; mt(){memset(s,0,sizeof(s));} mt(ll g0,ll g1){s[0][0]=inf,s[0][1]=g0,s[1][0]=s[1][1]=g1;} mt operator + (const mt&a)const { mt ret; ret.s[0][0]=min(s[0][0]+a.s[0][0],s[0][1]+a.s[1][0]); ret.s[0][1]=min(s[0][0]+a.s[0][1],s[0][1]+a.s[1][1]); ret.s[1][0]=min(s[1][0]+a.s[0][0],s[1][1]+a.s[1][0]); ret.s[1][1]=min(s[1][0]+a.s[0][1],s[1][1]+a.s[1][1]); return ret; } }t[N]; struct segtree { mt w[N<<2]; void update(int u){w[u]=w[u<<1]+w[u<<1|1];} void build(int l,int r,int u) { if(l==r){w[u]=t[pla[l]]=mt(G[pla[l]][0],G[pla[l]][1]);return ;} int mid = (l+r)>>1; build(l,mid,u<<1),build(mid+1,r,u<<1|1); update(u); } void insert(int l,int r,int u,int qx) { if(l==r){w[u]=t[pla[l]];return ;} int mid = (l+r)>>1; if(qx<=mid)insert(l,mid,u<<1,qx); else insert(mid+1,r,u<<1|1,qx); update(u); } mt query(int l,int r,int u,int ql,int qr) { if(l==ql&&r==qr)return w[u]; int mid = (l+r)>>1; if(qr<=mid)return query(l,mid,u<<1,ql,qr); else if(ql>mid)return query(mid+1,r,u<<1|1,ql,qr); else return query(l,mid,u<<1,ql,mid)+query(mid+1,r,u<<1|1,mid+1,qr); } }tr; mt get_mt(int x){return tr.query(1,n,1,tin[top[x]],tin[pot[x]]);} void chg(int a,int x) { if(x==1)t[a].s[1][0]-=inf; else t[a].s[1][0]+=inf; t[a].s[1][1]=t[a].s[1][0]; } void upd(int x) { while(x) { mt m0 = get_mt(x); tr.insert(1,n,1,tin[x]); mt m1 = get_mt(x); x = fa[top[x]]; if(!x)break; t[x].s[0][1]+=m1.s[1][1]-m0.s[1][1]; t[x].s[1][0]+=min(m1.s[0][1],m1.s[1][1])-min(m0.s[0][1],m0.s[1][1]); t[x].s[1][1]=t[x].s[1][0]; } } int main() { // freopen("tt.in","r",stdin); read(n),read(m);scanf("%s",op); for(int i=1;i<=n;i++)read(p[i]); for(int u,v,i=1;i<n;i++)read(u),read(v),ae(u,v),ae(v,u); dfs0(1,0),dfs1(1,1);dp(1);tr.build(1,n,1); for(int a,x,b,y,i=1;i<=m;i++) { read(a),read(x),read(b),read(y); if((fa[a]==b||fa[b]==a)&&!x&&!y){puts("-1");continue;} chg(a,x); upd(a); chg(b,y); upd(b); mt M = get_mt(1); ll ans = min(M.s[0][1],M.s[1][1]); ans+=(x+y)*inf; printf("%lld\n",ans); chg(a,!x);upd(a); chg(b,!y);upd(b); } return 0; }
