NOI2007 生成树计数

题目描述

题解：

一看$n$就知道是矩乘加速递推。

问题是怎么推。

不妨认为生成树的边是大号指向小号的。

首先，对于一般节点$x$，$x$可以连到$x-k$，但是连不到$x-k-1$。（废话）

所以我们处理点$x$时要确保$x-k$已经在前面的生成树里面了。

然后就是状态的问题。

由于$x$只能连到$x-k$到$x-1$，我们可以只处理$k$个数的分组状态。

$k$最大为$5$，$5$个数有多少状态？

数一下。

{5}:*1;

{4,1}:*5;

{3,2}:*10;

{3,1,1}:*10;

{2,2,1}:*15;

{2,1,1,1}:*10;

{1,1,1,1,1}:*1;

一共$52$种。

那$52*52$的矩阵就很好了。

先搜出所有状态，然后预处理转移矩阵，最后矩乘就好了。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define N 60
#define MOD 65521
ll n;
int k,cnt;
struct tgb
{
    int a[7];
}g[N];
int to[47000];//hash 6
int t[7],las[7];
struct Matrix
{
    ll s[N][N];
    Matrix(){memset(s,0,sizeof(s));}
}j0,j1;
Matrix operator * (Matrix &a,Matrix &b)
{
    Matrix c;
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
            for(int k=1;k<=cnt;k++)
                (c.s[i][j] += a.s[i][k]*b.s[k][j])%=MOD;
    return c;
}
Matrix operator ^ (Matrix &a,ll b)
{
    Matrix c;
    c = a,b--;
    while(b)
    {
        if(b&1)c=c*a;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return c;
}
ll fastpow(ll x,int y)
{
    ll ret = 1;
    while(y>0)
    {
        if(y&1)ret = ret*x%MOD;
        x = x*x%MOD;
        y>>=1;
    }
    return ret%MOD;
}
int vis[7],tim,jc[7];
void dfs(int dep,int mx)
{
    if(dep==k+1)
    {
        cnt++;int hs = 0;
        for(int i=1;i<=k;i++)g[cnt].a[i]=t[i],hs=hs*6+t[i];
        to[hs] = cnt;
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        for(int i=1;i<=k;i++)vis[t[i]]++;
        j0.s[cnt][1]=1;
        for(int i=1;vis[i];i++)j0.s[cnt][1]*=jc[vis[i]];
        return ;
    }
    for(int i=1;i<=mx;i++)
    {
        t[dep] = i;
        dfs(dep+1,mx);
    }
    t[dep] = mx+1;
    dfs(dep+1,mx+1);
}
int get_nam()
{
    int hs = 0;
    for(int i=1;i<=k;i++)hs=hs*6+t[i];
    return to[hs];
}
void init()
{
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
    {
        for(int j=0;j<=k-1;j++)t[j] = las[j] = g[i].a[j+1];
        t[k]=las[k]=6;
        for(int j=0;j<(1<<k);j++)
        {
            bool ot = 0;
            for(int o=0;o<=k-1;o++)
                if(j&(1<<o))
                {
                    int tg = t[o];
                    if(t[o]==6)
                    {
                        ot = 1;
                        break;
                    }
                    for(int u=0;u<=k-1;u++)
                        if(t[u]==tg)t[u]=6;
                }
            if(ot)
            {
                for(int o=0;o<=k;o++)t[o]=las[o];
                continue;
            }
            memset(vis,0,sizeof(vis));
            tim = 0;
            for(int o=1;o<=k;o++)
            {
                if(!vis[t[o]])vis[t[o]]=++tim;
                t[o] = vis[t[o]];
            }
            if(vis[t[0]])j1.s[get_nam()][i]++;
            for(int o=0;o<=k;o++)t[o]=las[o];
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%lld",&k,&n);
    if(n<=k)
    {
        ll ans = fastpow(n,n-2);
        printf("%lld\n",ans);
        return 0;
    }
    for(int i=1;i<=k;i++)jc[i]=fastpow(i,i-2);
    dfs(1,0);
    init();
    Matrix ans = j1^(n-k);
    ans = ans*j0;
    printf("%lld\n",ans.s[1][1]);
    return 0;
}