Happy Equation

Source: The 10th Shandong Provincial Collegiate Programming Contest

题解：

因为2^p为偶数，所以a，x的奇偶性相同

1.当a为奇数时，答案始终为1

2.下面讨论a为偶数的情况

因为a为偶数，所以a=2*other，a^x=2^x*other^x；

当x>=p时，a^x%2^p==0，此时只需要关心x^a%2^p==0，即x^a是2^p的倍数；

因为x为偶数，所以x=2^q*tmp，x^a=(2^q)^a*tmp^a=2^qa*tmp^a；

另tmp==1，并让2^qa>=2^p,即qa>=p,解得q>=p/a向上取整，满足x^a是2^p的倍数的q的最小值（也就是说x中必须要包含一个2^q才能是2^p的倍数）；

由于1<=x<=2^p，故ans+=(2^p)/(2^q)-(p-1)/(2^q)；

当x<p时，可以直接暴力

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+50;
ll a,p,mod,ans;
ll qpow(ll x,ll y)
{
    ll res=1;
    while(y){
        if(y%2==1) res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;
        y>>=1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int t;
    for(scanf("%d",&t);t;t--)
    {
        mod=1;ans=0;
        scanf("%lld %lld",&a,&p);
        if(a%2==1)
        {
            printf("1\n");
            continue;
        }
        mod<<=p;
        for(ll i=2;i<p;i+=2)
        {
            if(qpow(i,a)==qpow(a,i)) ans++;
        }
        ll q=(p-1)/a+1;
        ll cnt=1;cnt<<=q;
        ans+=mod/cnt-(p-1)/cnt;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}