教你如何写递归（数学归纳法，干货强推！）

引言

对于很多程序员来说，写递归程序是比较头疼的一件事，即使是把程序看懂了，轮到自己写的时候也是一脸懵逼，那么到底写递归有没有方法论呢？当然！本文就将从数学归纳法的角度教你如何写递归程序。 
 

数学归纳法与递归的关系

有人会疑惑，不是说好写递归嘛，怎么扯到数学归纳法了？别急慢慢往下看你就知道了。 
  
首先我们来温习一下数学归纳法的定义：

数学归纳法：用于证明断言对所有自然数成立。

证明过程：

• 证明对于N=1成立
• 证明N>1时：假设对于N-1成立，那么对于N成立

  
咋一看你或许有点蒙，没事，我们来举个例子你就差不多懂了。

  
怎么样，总结一下就是：先证明第一个自然数成立，然后假设对于n-1成立，在用这个假设去推导证明对于n也成立。

对于自然数的第一个数字究竟是0还是1，是一个学术界至今没有统一的问题，我们这里使用1作为自然数的第一个数。

  
接下来重点来了！！！我们来看看如何用递归写上面那个例子

 
  
是不是惊人的相似啊！原来递归的思路和数学归纳法的证明思路是一样的啊！ 
  
铺垫了这么多，终于引出我们今天要讲的递归书写方法论。 
 

递归书写方法

1. 先一般，后特殊（边界）

先写递归的主体部分，再回头写边界（一行行读主体部分的代码，寻找特殊的边界情况）

2. 每次调用必须缩小问题规模

3. 每次问题规模缩小程度必须为1（不要贪心）

这里的1并不是狭义的，比方说如果二分查找的时候，每次缩小一半的规模也是可以的

  
上面四点非常重要，为了帮助大家理解，接下来我举几个例子让大家热热身。 
 

例1：创建链表

我们想要创建一个五节点的单向链表（如下图所示）：

 
  
该怎么做呢？首先我们先假设如果已经得到了后四个节点的链表：

 
  
那么此时我们只需要将第一个节点的next指针指向（n-1）结果的头节点即可

 
代码如下：

public ListNode createLinkedList(List<Integer> data) { 
        ListNode firstNode = new Node(data.get(0)); 
        // 将第一个节点的next指针指向n-1已经创建好链表的头节点 
        firstNode.next = createLinkedList(data.subList(1, data.size()));  
        return firstNode; // 返回头节点 
    } 

  
此时我们先一般的步骤就完成了，看看是不是每次调用函数都缩小问题规模了，是不是问题规模每次都缩小1，都满足条件！接下来就是后特殊了，划重点：一行行查看此时的代码，想想每一行代码在什么情况下出异常，一旦发现这就是特殊情况了！ 
  
例如：上面函数中的第一行，如果data为空的话，是不是就报错了，那么此时就需要做特殊情况处理：

public ListNode createLinkedList(List<Integer> data) { 
        if (data.isEmpty()) 
            return null; 
        ListNode firstNode = new Node(data.get(0)); 
        // 将第一个节点的next指针指向n-1已经创建好链表的头节点 
        firstNode.next = createLinkedList(data.subList(1, data.size()));  
        return firstNode; // 返回头节点 
    } 

  
那么到此为止，我们就完成了创建链表的递归程序编写。不过瘾？那我们再来一个！

 

例2：反转链表

 
  
还是老样子，我们先假设n-1个链表已经反转完成了：

 
  
那么此时我们应该怎么做呢？此时1这个元素的next指针还是指向2的，因为后面的反转并不会影响1元素的next指针：

 
  
所以此时我们只需要将节点2的next设为1，将节点1的next设为null即可完成反转！

 
代码如下：

public ListNode ReverseList(ListNode head) { 
        // 这里得到n-1反转后链表的头节点，也就是反转前的最后一个节点 
        ListNode newHead = ReverseList(head.next); 
        // 将节点2的next设为节点1 
        head.next.next = head; 
        // 将节点1的next设为null 
        head.next = null; 
        return newHead; 
    } 

  
那么此时先一般就完成了，接下来就是寻找特殊（边界）情况了，一行行代码看下来发现head和head.next为null时会报异常，于是处理异常情况： 
 

public ListNode ReverseList(ListNode head) { 
        if(head == null || head.next == null) 
            return head; 
        ListNode newHead = ReverseList(head.next); 
        head.next.next = head; 
        head.next = null; 
        return newHead; 
    } 

  
到此为止，反转链表函数就已经完成，是不是感觉按照数学归纳法的思路写递归还是蛮清晰的呢！

 

总结

数学归纳法是递归的依据。

书写递归的思路跟数学归纳法的证明过程相似，不过需要注意的是，先书写一般情况，后根据一般情况考虑特殊情况；同时要牢记递归函数每次缩小规模程度必须为“1”！

方法已经教给你了，接下去就是多练习了，赶紧找点题目练练手吧！