《程序是怎样跑起来的》——第3章 计算机进行小数运算时出错的原因

一、计算机进行小数运算时也会出错
1、计算机不是万能的：计算机在运行的时候绝大多数的时候能得到正确的数值，但依然存在程序运行后无发得到正确数值的情况。小数运算就是这样。
2、示例：将0.1累加100次也得不到10


但与之相反的是，0.1累加00此后的结果是10。正是这样计算机在运行小数的时候也会存在错误的情况。
二、用二进制数表示小数
1、原因：由于计算机内部所有的信息都是以二进制数的形式来处理的，因此在这一点上，整数和小数并无差别。不过，使用二进制数来表示整数和小数的方法却有很大的不同。
2、示例：把1011.0011这个有小数点的二进制数转换成十进制数

只需将个数为数值和位权相乘，然后再将相乘的结果相加即可实现。（位权是用来与各数字位的数字相乘的数值）
三、计算机出错的原因
1、原因：计算机之所以会出现运算错误，是因为“有一些十进制数的小数无法转换成二进制数”。
2、示例：小数点后4位用二进制数表示时的数值范围为0.0000～0.1111。这里只能表示0.5、0.25、0.125、0.0625这四个二进制数小数点后面的位权组合而成(相加总和)的小数。将这些数值组合后能够表示的数值。
小数点后4位能够用二进制数表示的数值二进制数是连续的，十进制数是非连贯的。

实际上，十进制数0.1转换成二进制后，会变成0.00011001100…(1100循环)这样的循环小数。
四、浮点数
1、概念：浮点数是指用符号、尾数、基数和指数这四部分来表示的小数。
2、类型：双精度浮点数和单精度浮点数。（在C语言中，双精度浮点数类型和单精度浮点数类型分别用double和float来表示。）
（1）双精度浮点数：双精度浮点数类型用64位来表示全体小数。
（2）单精度浮点数：单精度浮点数类型用32位来表示全体小数。
3、表现形式：由符号、尾数、基数、指数四部分构成。

因为计算机内部使用的是二进制数，所以基数自然就是2。因此，实际的数据中往往不考虑基数，只用符号、尾数、指数这三部分即可表示浮点数。
4、浮点数范围：

5、浮点数的内部构造：
浮点数的表现方式有很多种，这里我们使用最为普遍的IEEE（IEEE(Institute of Electrical and Electronics Engineers)是指美国电气和电子工程师协会。该协会制定了计算机领域的各种规定。读作“eye-triple-e,I-3E”。）标准。双精度浮点数和单精度浮点数在表示同一个数值时使用的位数不同。此外，双精度浮点数能够表示的数值范围要大于单精度浮点数。

（1）符号部分是指使用一个数据位来表示数值的符号。该数据位是1时表示负，为0时则表示“正或者0”。这和用二进制数来表示整数时的符号位是同样的。数值的大小用尾数部分和指数部分来表示。
（2）尾数部分用的是“将小数点前面的值固定为1的正则表达式”。
（3）指数部分用的则是“EXCESS系统表现”。
五、正则表达式和EXCESS系统
1、正则表达式：按照特定的规则来表示数据的形式即为正则表达式。除小数之外，字符串以及数据库等，也都有各自的正则表达式。
（1）尾数部分使用正则表达式”,可以将表现形式多样的浮点数统一为一种表现形式。
（2）浮点数可以用不同的形式表现同一个数值：

（3）在二进制数中，我们使用的是“将小数点前面的值固定为1的正则表达式”。具体来讲，就是将二进制数表示的小数左移或右移(这里是逻辑移位。因为符号位是独立的)数次后，整数部分的第1位变为1,第2位之后都变为0(这样是为了消除第2位以上的数位)。
（4）示例：单精度浮点数中，尾数部分是23位，但由于第1位的1被省略了，所以实际上可以表示24位的数值。双精度浮点数的表示方法也是如此，只是位数不同而已。
单精度浮点数尾数部分的正则表达式

2、EXCESS系统
（1）EXCESS系统表现是指，通过将指数部分表示范围的中间值设为0,使得负数不需要用符号来表示。
（2）示例：单精度浮点数指数部分的EXCESS系统表现

六、如何避免计算机计算出错
1、回避策略：无视这些错误。一般来讲，在科学技术计算领域，计算机的计算结果只要能得到近似值就足够了。那些微小的误差完全可以忽略掉。
2、把小数转换成整数：计算机在进行小数计算时可能会出错，但进行整数计算(只要不超过可处理的数值范围)时一定不会出现问题。因此，进行小数的计算时可以暂时使用整数，然后再把计算结果用小数表示出来即可。
3、除此之外，BCD(Binary Coded Decimal )也是一种使用二进制表示十进制的方法。