随机变量指示器的简单应用

定义#

设有样本空间 $S$ ，定义其中一个事件 $A$ 的 随机变量指示器（indicator random variable） $I\{A\}$ 为

$$I\{A\}:= \begin{cases} 1 & \text{if A happens,} \\ 0& \text{Otherwise.} \end{cases}$$

即，$A$ 事件发生时为 1，不发生时为 0。

还是经典的拿抛硬币举例：定义事件 $H$ 表示正面朝上，$T$ 表示反面朝上。

定义 $X_H$ 为 $H$ 的随机变量指示器，则当正面朝上时，$X_H=1$，否则 $X_H=0$。

正面朝上的概率，即 $X_H$ 的期望，为 $E[X_H]= 1 \cdot \Pr\{H\}+0 \cdot \Pr\{T\}=0.5$。

对于样本空间 $S$ 中的事件 $A\in S$，设 $X_A=I\{A\}$，则有 $E[X_A]=\Pr\{A\}$。

不难证明：只有 $A$ 发生的时候才对期望有贡献。

那么，设有 $X=\sum_{i=1}^n X_i$，则由期望的线性性得到 $E[X]=E[\sum_{i=1}^nX_i]=\sum_{i=1}^nE[X_i]=\sum_{i=1}^n \Pr i$。

这次拿投骰子举例：我们想求掷 $n$ 次骰子得到的点数期望。

求出每一种点数情况的概率分布？费脑子。

定义 $X_{i,j}$ 表示第 $i$ 次掷得到 $j$ 的随机变量指示器，则总点数 $X=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^6j \cdot X_{i,j}$。

那么

$$\begin{aligned} E[X]&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^6j\cdot E[X_{i,j}] \\ &=\sum_{j=1}^6 j \sum_{i=1}^n E[X_{i,j}] \\ &=\sum_{j=1}^6 j \sum_{i=1}^n \Pr\{第 i 次出现点数 j\} \\ &=\sum_{j=1}^6 j \sum_{i=1}^n\frac{1}{6} \\ &=\sum_{j=1}^6 \frac{jn}{6} =3.5 \times n \end{aligned}$$

可能写的有点复杂，本质是把期望的线性性用更形式化的语言表示了出来。

有一个很重要的一点：期望的线性性不要求事件相互独立！这可以帮助我们化简很多问题。

再比如，依次面试 $n$ 个人，每个人的优秀程度随机，如果第 $i$ 个人比前面所有人都优秀，则录用这个应聘者。无论是否录用，面试都继续。求录用总数的期望。

第 $i$ 个人比前面的人都优秀的概率 $\Pr i=\dfrac{1}{i}$，由此推出

$$E[X]=\sum_{i=1}^nE[X_i]=\sum_{i=1}^n\Pr i=\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}=H_n$$

应用#

UVA12004 Bubble Sort#

题目大意：求长度为 $n$ 的排列的逆序数的期望。

定义 $X_{i,j}$ 表示 $i<j,a_i>a_j$ 的随机变量指示器（即 $i,j$ 是一对逆序对），那么排列的逆序数即为 $X=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^nX_{i,j}$。

$$\begin{aligned} E[X]&=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^nE[X_{i,j}] \\ &=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n \Pr\{a_i>a_j\} \\ &= \sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n \frac{1}{2} \\ &= \frac{n(n-1)}{4} \end{aligned}$$

CF280C Game on Tree#

题目大意：给定一棵树，每次操作随机删除一个（未被删除的）节点的子树（包括自己），求期望操作多少次。

定义 $X_u$ 表示 $u$ 的子树被删除（或者称 $u$ 被选中）的随机变量指示器。则期望操作次数为 $X=\sum_{u=1}^nX_u$。

一个节点 $u$ 当且仅当它被选中前，没有祖先被选中，它才能被删除。因此一个点被选中的概率就是 $\dfrac{1}{d_u}$，其中 $d_u$ 表示 $u$ 节点的深度（1 开始）。

那么，直接得出结果

$$E[X]=\sum_{i=1}^nE[X_i]=\sum_{i=1}^n \Pr i= \sum_{i=1}^n \frac{1}{d_i}$$